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《运用函数与方程思想解题的策略(文)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
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3、数相关的试题所占比例始终在20%左右，高考题对函数的思想方法的考查已经达到较高的层次，综合知识多、题型多、应用技巧多。函数与方程思想几乎渗透到高中数学教学的各个领域，在高中新课标数学中，还安排了函数与方程这一节内容，可见其重要所在。【高考要求】能力要求：逻辑思维能力、等价转换能力、空间想象能力、运算能力、识别能力、运用数学知识分析问题和解决问题能力。方法要求：函数思想主要有：（1）引入变量，确定函数关系；（2）选定主元，揭示函数关系；(3)选取变元，构造函数关系；（4）实际问题，建立函数关系；（5）特殊函数，转化函数关系。方程思想主要有：（1）待定系数求解方程；（2）分类思想讨论方程；（2）
4、变量代换构造方程。主要题型：（1）利用函数与方程的性质解题；（2）构造函数与方程解题；（3）函数、方程、不等式三者之间的相互转化；（4）函数与方程在立体几何中的应用；（5）函数与方程在解析几何中的应用；（6）函数与方程在导数中的应用；（7）函数与方程在数列中的应用；（8）应用函数与方程研究实际问题。【例题选讲】1.利用函数与方程的性质解题例1.(2009年山东卷文科第12题)已知定义在上的奇函数，满足,且在区间上是增函数,则()A.B.C.D.【点拨】首先由可得，再利用函数的奇偶性、周期性化简得，，，再利用单调性进行大小比较.【解答过程】:因为满足,所以,所以函数是以8为周期的周期函数,则,
5、,,又因为在上是奇函数，,得,,而由得,又因为在区间上是增函数,所以,所以,即,故选D.【易错点】不能由关系式判断出函数的周期性，不能由定义在上的奇函数得到，不能将自变量的值通过周期变换和奇偶性转化到区间上，进而利用增函数的性质比较大小。2.构造函数与方程解题例2.已知，（、、），则有（）A.B.C.D.【点拨】解法一通过化简，敏锐地抓住了数与式的特点：看作是方程的一个实根，再利用一元二次方程有根的充要条件求得；解法二转化为是、的函数，运用重要不等式解题．【解答过程】解法一：依题设有∴是实系数一元二次方程的一个实根；∴∴故选B.解法二：去分母，移项，两边平方得：∴故选B.【易错点】不能合理地
6、转化为是、的函数或构造来解题。3.函数、方程、不等式三者之间的相互转化例3.（2008年广东卷理科第14题）已知,若关于的方程有实根，则的取值范围是.【点拨】求参数的范围，可以先将分离出来，表示为的函数，求出函数的值域，进而得到参数的范围。【解答过程】方程即，即当时，变为，故无解当时，变为，故当当时，变为，故无解总之，的取值范围是【易错点】不能将方程问题转化为函数问题来解，解绝对值不等式时分类不清。4.函数与方程在立体几何中的应用ABCDA1B1C1D1EHFG图8-1例4.（2010年福建文科第20题）如图8-1，在长方体中，分别是棱,上的点（点与不重合），且.过的平面与棱相交，交点分别为
7、.（1）证明：平面；（2）设，在长方体内随机选取一点，记该点取自于几何体内的概率为.当点分别在棱,上运动且满足时，求的最小值.【点拨】（1）要证明线面平行只需证明线线平行，即（2）求的最小值，可以先将用体积来表示，再把体积表示为、的函数，最后运用重要不等式解出最小值.【解答过程】（1）证明：在长方体中，,又，平面,平面,平面(2)设，则长方体的体积几何体的体积当且仅当时等号成立。从而故，当且仅当时等号成立。所
