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1、温馨提示:高考题库为Word版，请按住Ct"，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。【考点30】空间向量及其运算2009年高考题1>(2009江西高考)如图，正四面体ABCD的顶点A,B,C分别在两两垂直的三条射线Ox,Oy,O乙上，则在下列命题中，错误的为()••A.O-ABC是正三棱锥B.直线〃平面ACDC.直线AD与OB所成的角是45°D.二面角D-OB-A为45°【解析】选B.将原图补为正方体不难得出B为错误，故选B.2、(2009安徽高考)在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2),B(l,-3,1),点M在y轴上，且M到A与到B的距
2、离相等，则M的坐标是。［解析］设M(0,y,0)由F+y2+4=1+(-3—y)2+1可得y=—1故M(0,—1,0)・答案:(0,-1,0)3、(2009北京高考)如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD丄底面ABCD,点E在棱PB±・(I)求证：平面AEC丄平面PDB；(II)当PD=y/2AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.【解析】如图，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz,设AB=ci,PD=h,则A（Q,0,0）,B（a,d,0）,C（0,Q,0）,Z）（0,0,0）,P（0,0,/7）,（I）丁AC二（一d,G,O）,Z）P=（O,
3、O,/z）,£）B=（d,d,O）,•••ACDP=Q,ACDB=O,・・・AC丄DP,AC丄DB,・・・AC丄平面PDB,・•・平面AEC丄平^PDB.当PD=忑AB且E为PB的中点时，P(0,0,辰),Efl1V2/设ACABD=O,连接OE,由(I)知AC丄平面PDB于0,・•・ZAEO为AE与平面PDB所的角,1—Cl21V2——a.a22,EO=•••cosZAEO=EAEOV2・•・ZAOE=45°,即AE与平面PDB所成的角的大小为45°・4、(2009全国II)如图，直三棱柱ABC-AiBjCi中，AB丄AC,D、E分别为AA】、B】C的中点,DE丄平
4、面BiBCCi(I)证明：AB=AC(II)设二面角A-BD-C为60。,求BiC与平面BCD所成的角的大小【解析】(I)以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A—xyzo设B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),则冋(1,0,2c),1bfbfE(-,c)•于是DE=0),BC=(-1,b,0)・2222~>—由DE丄平面BCC
5、知DE丄BC,DEBCF,求得b=l,所以AB=ACO(n)设平面BCD的法向量赢=(x,”z),则赢•BC=^ANBD=O.又品=(-1,1,0),-(~x+y=0BD=(-1,0,c)，故•-x+
6、cz=OT
7、令x=l,则y=l,z=—,AN=1,—).又平面ABD的法向量AC=(0,1,0)由二面角A—BD—C为60°知，A7V=
8、AC
9、*
10、A}V
11、-cos60°于是AN=(1,1,V2),CB}=(^~1,V2),所以与平面BCD所成的角为30。5、(2009江西高考)如图，在四棱锥P-A3CD中，底面ABCD是矩形，P4丄平面ABCDfPA=AD=4,DAB=2・以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M・(1)求证：平面丄平面PCD；(2)求直线PC与平面ABM所成的角；(3)求点O到平面的距离.【解析】方法一：(1)
12、依题设，M在以BD为直径的球面上，则BM丄PD.因为PA丄平面ABCD,则PA丄AB,又AB丄AD,所以AB丄平面PAD,则AB丄PD,因此有PD丄平面ABM,所以平面ABM丄平面PCD.(2)设平面ABM与PC交于点N,因为AB//CD,所以AB"平面PCD,则AB//MN//CD,由(1)知，PD丄平面ABM,则MN是PN在平面ABM上的射影,所以ZPNM就是PC与平面ABM所成的角，J2x=0[2y+2z=0所求角的大小为arcsin2V2~T~2V2"T"且ZPNM="CDtanZPNM=tanZPCD=—=2^2DC所求角为arctan2>/2(3)因为0是BD
13、的中点，则0点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，由(1)知，PD丄平面ABM于M,则
14、DM
15、就是D点到平面ABM距离.因为在RtAPAD中，PA=AP=4,PD丄AM,所以M为PD中点，DM=2^2,则0点到平面ABM的距离等于血。方法二:(1)同方法一；(2)如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),P(0,0,4),5(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),M(0,2,2),设平面ABM的一个法向量z?=(x,y,z)，由〃丄AB,n丄AM可得:即n=(0丄一1)•设所求角为a，贝'Js
