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1、基础班微积分第1讲预备知识函数概念数列极限引言微积分的基本内容与基本方法1微积分的基本内容•总的来说：研究函数的种种表示及性质。•细一点说，五大块内容：两主块，两工具，一应用。(1)一元微积分学；(2)多元微积分学；(1,2为主块)(3)向量代数与空间解析几何；(4)级数；(3,4为工具)(5)微分方程。(这是应用分支)2微积分的基本方法•总的来说：极限分析方法。•细一点说，五种基本方法或观点:(1)变化观点•…在变化中考察，常量与变量的转化。(2)函数观点--将常量放到函数中去研究。(3)极限观点•…研究变化趋势，解决对无限的认识。(4)分
2、析观点--无限小阶的分析、函数的逼近。(5)变换观点•…通过变换，将未知化己知，将复杂化简单。•就如何做题的建议第一节函数概念、符号及初等性质综合例题1.1预备知识罗列1.1.1绝对值与基本不等式•绝对值•基本不等式例证明对任意实数x€(0,—),有sin(sinx)＜sinx。27TTt证：显然当XG(0,-)时，有0vsin兀＜1＜上，由不等式(3),即22有木题不等式。1.2邻域与区间邻域N(兀(),5)={兀x-x()<3,3>0}o去心邻域J)={x
3、00}o区间1.3函数定义：对实数集X小的任意兀，按某-确定的规则，
4、若有唯一确定的实数值y与Z对应，则称y是工的函数，记为y=f(x)o/:XtY,XuR,或「・XtR,XuR°x例已知某商品的市场需求函数为P(x)=12--,其中/为销售量,P(x)表示该商站的单位价格，并且C(x)=40+2x,表示产量为*的成木函数。求利润函数L(x)o解：利润二收入一成本，因此得出利润函数为19L(x)=xP(x)一C(x)=10x——x2-40,(x>0)o4例求函数y=的定义域：(x+l)Vl-^2x解：欲使该函数冇意义，自变量必须满足l-e2x>0且工式一1,由此得定义域为工<0且兀工一1。1.4函数的初等性质•
5、增减性(单调性)•奇偶性广义奇偶性(偶对称与奇对称)•周期性•有界性•凸凹性1.5函数的运算•函数的四则运算复合函数例设"0=在,"1‘求/表达式1Y—1解：由/（X）的定义可得/（/«）=--—=-—,1-/W兀/[/（/⑴）]="'彳命卜!因此/[/（/°））｝彳缶卜1,匕工1）。例已知/（%+1）=X2+1,求/（X）表达式。解：/（兀+1）=（兀+1）2—2（兀+1）+2,因此/(%)=x2-2x+2o注：或利用变量置换法，令/=x+l,则x=/-l,则有/(r)=(r-l)2+l,即/(x)=x2-2x+2ofsinx,x>0[-1
6、x<例设/W=1.介，0(力={,[~sx,x<0[1x>1求/(0(兀))，0(/0))的表达式。解:f((p(x))=Jsin^?(%),(p(x)>0,[-sin^O),(p(x)<0sin1,x>1,=sinl.-sin(-l),x<1▲15iny=/(0(x))sin10521'■■■i■■■■?-1,/UXl,1,/W>1▲~1051niry=0(/(兀))152011，X=—+k7U,2一1,土sin”1,h±sinx=1—1,XHFk7C、2例已知2/(x)+/(l-x)=x2,求/(兀)表达式。解：(方法1)比较系数法
7、/(l-x)为兀的复合函数，而*系由/(X)与/(I-X)线性组合运算得到，因此/(工)只能是多项式函数，并且最高次数为二次，于是可令f(x)=ax2+bx+c,山己知等式采用待定系数法求解。191比较两端同次幕系数解出:rrr最后得到2(ax2+bx+c)+a(l-x)2+方(1一兀)+c=x2,f(x)=-x2+-X--233(方法2)变量置换法令t=l-x,x=l-t,由已知等式可得到2/(1-0+/(0=(1-02,或记为2/(1-X)+/(X)=(1-x)2,将此式与己知等式联合消去/(1-x)121刊解出f(X)=—X24X•33
8、3•反函数10X—1例求函数尸応吋的值域。解：直接求该函数的值域不很方便。止我们来考虑其反函数的定义域。由),心102v+l可解出―岂11+换记号记为y=-g^9求此函数的定义域。21—x1+%1+兀〉01+x<0应满足h。'叫一〉。或一<0第二组不等式无解,第一组不等式的解为X<1,因此所求函数的值域为yg(-1,1).1.6函数的表示•隐函数例，园的方程%2+/-1=0在圆周%2+/=1上除去两点(-1,0)与(1,0)Z外的任意点的邻域内均可确定一个单值函数y=y(x).如在点(T,T)的某邻域内可以确定函数,=",(卜I<1)•5J
9、2在点(冷-，一冷-)的某邻域内可，确定函数y=-Vi-%2,(卜
10、<1)o•参数方程表达的函数[x=x(t)若对于参变最teT都可由方程,teT.[y=y(O唯
