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《通用版2020版高考数学大一轮复习第23讲正弦定理和余弦定理学案理新人教A版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第23讲 正弦定理和余弦定理1.正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理公式asinA= = =2R(其中R是△ABC的外接圆的半径) a2= , b2= , c2= 定理的变形a=2RsinA,b= ,c= ,a∶b∶c= cosA= , cosB= , cosC= 2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=bsinAbsinAb解的个数 3.三角形面积公式(1)S=12ah(h表示
2、边a上的高);(2)S=12bcsinA=12acsinB=12absinC;(3)S=12r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).常用结论1.三角形内角和定理:在△ABC中,A+B+C=π;变形:A+B2=π2-C2.2.三角形中的三角函数关系:(1)sin(A+B)=sinC;(2)cos(A+B)=-cosC;(3)sinA+B2=cosC2;(4)cosA+B2=sinC2.3.三角形中的射影定理在△ABC中,a=bcosC+ccosB;b=acosC+ccosA;c=bcosA+acosB.题组一 常识题1.[教材改编]在△ABC中,B=45°,C=60°,c=2,则最短边的
3、边长等于 . 2.[教材改编]在△ABC中,已知a=5,b=23,C=30°,则c= . 3.[教材改编]在△ABC中,已知a2-c2+b2=ab,则C等于 . 4.[教材改编]在△ABC中,已知a=32,b=23,cosC=13,则△ABC的面积为 . 题组二 常错题◆索引:在△ABC中角与角的正弦的关系弄错;利用正弦定理求角时解的个数弄错;余弦定理、面积公式中边与角的三角函数的对应关系弄错;三角形中的三角函数关系弄错.5.在△ABC中,若sinA=sinB,则A,B的关系为 ;若sinA>sinB,则A,B的关系为 . 6.在△ABC中,若A=60°
4、,a=43,b=42,则B等于 . 7.在△ABC中,a=2,b=3,C=60°,则c= ,△ABC的面积等于 . 8.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若ccosA=b,则△ABC为 三角形. 探究点一 利用正弦、余弦定理解三角形例1在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=3,且b2+c2=3+bc. (1)求角A的大小;(2)求bsinC的最大值. [总结反思](1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关
5、于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素;(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系;(3)涉及最值问题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解.变式题(1)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=23,c=22,1+tanAtanB=2cb,则C=( )A.π6B.π4C.π4或3π4D.π3(2)[2018·衡水中学月考]已知△ABC满足BC·AC=22,若C=3π4,sinAsinB=12cos(A+B),则AB= . 探究点二 利用正
6、弦、余弦定理判定三角形的形状例2已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc.若sinB·sinC=sin2A,则△ABC的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形 [总结反思]判断三角形的形状主要从两个角度考虑:(1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;(2)化角:通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.变式题在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若tanAtanB=a2b2,则△ABC是( )A.直角三角形B.
7、等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形或等腰三角形探究点三 与三角形面积有关的问题例3[2018·洛阳三模]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c且bsinB+(c-b)sinC=asinA.(1)求角A的大小;(2)若sinBsinC=38,且△ABC的面积为23,求a. [总结反思](1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值),一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积,再代入公式求解;(2)
