（天津专用）2020版高考数学大一轮复习 3.2 导数的应用精练

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1、3.2　导数的应用挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.导数与函数的单调性1.了解函数单调性和导数的关系2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)2014天津文,19利用导数研究函数的单调性和极值构造新函数、不等式的证明★★★2.导数与函数的极(最)值1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次),会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)2016天

2、津,20利用导数研究函数的极值和最值导数的运算、不等式的证明★★★3.导数的综合应用利用导数解决实际问题2018天津,20利用导数解决函数零点问题利用导数研究指数函数、对数函数的性质★★★2014天津,20利用导数研究函数的性质分析解读　　函数的单调性是函数的一条重要的性质,也是高中阶段研究的重点.一般分两类考查,一是直接用导数研究函数的单调性、求函数的最值与极值以及实际问题中的优化问题等.二是把导数、函数、方程、不等式、数列等知识相联系,综合考查函数的最值与参数的值(取值范围),常以解答题的形

3、式出现,分值14分,难度较大.破考点【考点集训】考点一　导数与函数的单调性1.已知函数f(x)=xx2+1+1,则函数f(x)的单调增区间为　　　　. 答案　(-1,1)2.已知函数f(x)=1ex+alnx(a∈R).(1)当a=1e时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)若函数f(x)在定义域内不单调,求a的取值范围.解析　函数f(x)的定义域为(0,+∞),导函数f'(x)=-1ex+ax=aex-xxex.(1)当a=1e时,因为f'(1)=-1e+1e=0,f(1)

4、=1e,所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y=1e.(2)f'(x)=aex-xxex(x>0),设函数f(x)在定义域内不单调时,a的取值集合是A;函数f(x)在定义域内单调时,a的取值集合是B,则A=∁RB.函数f(x)在定义域内单调等价于f'(x)≤0恒成立或f'(x)≥0恒成立,即aex-x≤0恒成立或aex-x≥0恒成立,等价于a≤xex恒成立或a≥xex恒成立.令g(x)=xex(x>0),则g'(x)=1-xex,由g'(x)>0得0

5、1)上单调递增;由g'(x)<0得x>1,所以g(x)在(1,+∞)上单调递减.因为g(1)=1e,且x>0时,g(x)>0,所以g(x)∈0,1e.所以B=aa≤0或a≥1e,所以A=a00),则函数F(x)=g(x)-f(x)(　　)A.有极小值,没有极大值B.有极大值,没有极小值　　　　C.至少有两个极小值和一个极大值D.至少有一个极小值和两个极大值答案　C　4.已

6、知函数y=f(x)的导函数有且仅有两个零点,其图象如图所示,则函数y=f(x)在x=　　　　处取得极值. 答案　-1考点三　导数的综合应用5.已知函数f(x)=pe-x+x+1(p∈R).(1)当实数p=e时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)当p=1时,若直线y=mx+1与曲线y=f(x)没有公共点,求实数m的取值范围.解析　(1)当p=e时,f(x)=e-x+1+x+1,则f'(x)=-e-x+1+1,∴f(1)=3,f'(1)=0.∴曲线y=f(

7、x)在x=1处的切线方程为y=3.(2)∵f(x)=pe-x+x+1,∴f'(x)=-pe-x+1.①当p≤0时,f'(x)>0,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);②当p>0时,令f'(x)=0,得ex=p,解得x=lnp.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,lnp)lnp(lnp,+∞)f'(x)-0+f(x)↘2+lnp↗所以当p>0时,f(x)的单调递增区间为(lnp,+∞),单调递减区间为(-∞,lnp).(3)当p=1时,f(x)=e-x+x+1,直线

8、y=mx+1与曲线y=f(x)没有公共点等价于关于x的方程mx+1=e-x+x+1在(-∞,+∞)上没有实数解,即关于x的方程(m-1)x=e-x(*)在(-∞,+∞)上没有实数解.①当m=1时,方程(*)化为e-x=0,显然在(-∞,+∞)上没有实数解.②当m≠1时,方程(*)化为xex=1m-1,令g(x)=xex,则有g'(x)=(1+x)ex.令g'(x)=0,得x=-1.当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:x(-∞,-1)-1(-1,+∞)g'(x)-0+g(x)↘-1e