2019届高考数学二轮复习 专题四 第1讲 直线与圆学案

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1、第1讲直线与圆考向预测1．直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是高考的重点；2．考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题，多为选择题、填空题．1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1．若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．两个距离公式(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝．(2)点(x0，y0)到

2、直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．3．圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心为(a，b)，半径为r．(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心为，半径为r＝．4．直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：dr⇔相离．(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离．热点一　直线的方程【例1】(2018·江

3、南十校)已知点M(a,b)，a>0，b>0是圆C:x2+y2=1内一点，直线ax+by=1，ax+by=-1，ax-by=1，ax-by=-1围成的四边形的面积为S，则下列说法正确的是（）A．S>4B．S≥4C．S<4D．S≤4解析由已知a2+b2<1，四条直线围成的四边形面积S=42ab≥4a2+b2>4．答案A探究提高　1．求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．2．求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率

4、不存在的情况是否符合题意．【训练1】(2017·贵阳质检)已知直线l1：mx＋y＋1＝0，l2：(m－3)x＋2y－1＝0，则“m＝1”是“l1⊥l2”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析　“l1⊥l2”的充要条件是“m(m－3)＋1×2＝0⇔m＝1或m＝2”，因此“m＝1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．答案　A　热点二　圆的方程【例2】(2019·江西名校联盟)已知点A(-2,-1)，B(1,3)，则以线段AB为直径的圆的方程为（）A．(x-12)2+(y+1)2=25B

5、．(x+12)2+(y-1)2=25C．(x-12)2+(y+1)2=254D．(x+12)2+(y-1)2=254解析圆心为AB的中点-12,1，半径为(-12+2)2+(1+1)2=52，则以线段AB为直径的圆的方程为(x+12)2+(y-1)2=254．答案D．探究提高　1．直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．2．待定系数法求圆的方程．【训练2】圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得的弦的长为2，则圆C的标准方程为________．解析　设圆心(a>0)，半

6、径为a．由勾股定理得()2＋＝a2，解得a＝2．所以圆心为(2，1)，半径为2，所以圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4．答案　(x－2)2＋(y－1)2＝4热点三　直线与圆的位置关系【例3】(1)(2019·银川一中)已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且

7、OA+OB

8、=

9、OA-OB

10、，其中O为坐标原点，则实数a的值为（）A．2B．±2C．－2D．±2(2)(2017·菏泽二模)已知圆C的方程是x2＋y2－8x－2y＋8＝0，直线l：y＝a(x－3)被圆C截得的弦长最短时，直线l方程为_______

11、_．解析　(1)由

12、OA+OB

13、=

14、OA-OB

15、得OA+OB2=OA-OB2，OA⋅OB=0，OA⊥OB，三角形AOB为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为2，即a2=2，a＝±2，故选B．(2)圆C的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝9，∴圆C的圆心C(4，1)，半径r＝3．又直线l：y＝a(x－3)过定点P(3，0)，则当直线y＝a(x－3)与直线CP垂直时，被圆C截得的弦长最短．因此a·kCP＝a·＝－1，∴a＝－1．故所求直线l的方程为y＝－(x－3)，即x＋y－3＝0．答案　(1)B，(2)x＋y－3＝0探究提高　

16、1．研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题．2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理．【训练3】(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已