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《浙江专用2019高考数学二轮复习专题二立体几何规范答题示例4空间角的计算问题学案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、规范答题示例4 空间角的计算问题典例4 (15分)(2017·浙江)如图，已知四棱锥P—ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E为PD的中点．(1)证明：CE∥平面PAB；(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．审题路线图方法一 (1)→→→规范解答·分步得分构建答题模板方法一 (1)证明 如图，设PA的中点为F，连接EF，FB.因为E，F分别为PD，PA中点，所以EF∥AD且EF＝AD，又因为BC∥AD，BC＝AD，所以EF∥BC且EF＝BC，所以四
2、边形BCEF为平行四边形，所以CE∥BF.4分因为BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，因此CE∥平面PAB.6分(2)解 分别取BC，AD的中点为M，N，连接PN交EF于点Q，连接第一步找平行：通过三角形中位线，找出线线平行进而得到线面平行．第二步找夹角：通过作辅助线及线线、线面及面面之间的关系找到夹角．第三步找关系：由图形找出各线段之间的长度关系，进而求得夹角的正弦值.第四步MQ.因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点，所以Q为EF的中点，在平行四边形BCEF中，MQ∥CE.由△PAD为等腰直角三角形得PN⊥AD
3、.由DC⊥AD，N是AD的中点得BN⊥AD，又PN∩BN＝N，PN，BN⊂平面PBN，所以AD⊥平面PBN.9分由BC∥AD得BC⊥平面PBN，又BC⊂平面PBC，那么平面PBC⊥平面PBN.过点Q作PB的垂线，垂足为H，连接MH.MH是MQ在平面PBC上的投影，所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角.12分设CD＝1.在△PCD中，由PC＝2，CD＝1，PD＝得CE＝，在△PBN中，由PN＝BN＝1，PB＝得QH＝，在Rt△MQH中，QH＝，MQ＝，所以sin∠QMH＝，所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值是.
4、15分得结论：得到所求夹角的正弦值.审题路线图方法二 (1)→→→→→(2)→规范解答·分步得分构建答题模板方法二 (1)证明 设AD的中点为O，连接OB，OP.∵△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，∴OP⊥AD.∵BC＝AD＝OD，且BC∥OD，∴四边形BCDO为平行四边形，又∵CD⊥AD，∴OB⊥AD，∵OP∩OB＝O，OP，OB⊂平面OPB，∴AD⊥平面OPB.2分过点O在平面POB内作OB的垂线OM，交PB于M，以O为原点，OB所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OM所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图
5、.4分设CD＝1，则有A(0，－1,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)．设P(x,0，z)(z>0)，由PC＝2，OP＝1，得解得x＝－，z＝.即P，∵E为PD的中点，∴E.设平面PAB的法向量为n＝(x1，y1，z1)，∵＝，＝(1,1,0)，∴即解得令y＝－1，得n＝(1，－1，).7分而＝，∴·n＝0，又∵CE⊄平面PAB，∴CE∥平面PAB.10分(2)解 设平面PBC的法向量为m＝(x2，y2，z2)，第一步找垂直：找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线．第二步写坐标：建立空间
6、直角坐标系，写出点坐标．第三步求向量：求直线的方向向量或平面的法向量.第四步求夹角：计算向量的夹角．第五步得结论：得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角.∵＝(0,1,0)，＝，∴即令x2＝1，得m＝(1,0，).13分设直线CE与平面PBC所成的角为θ，则sinθ＝
7、cos〈，m〉
8、＝＝.故直线CE与平面PBC所成角的正弦值为.15分评分细则 (1)方法一第(1)问中证明CE∥平面PAB缺少条件扣1分，第(2)问中证明PN⊥AD和BN⊥AD各给1分．(2)方法二中建系给2分，两个法向量求出1个给3分，没有最后结
9、论扣1分，法向量取其他形式同样给分．跟踪演练4 (2018·全国Ⅰ)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．(1)证明 由已知可得BF⊥PF，BF⊥EF，PF∩EF＝F，PF，EF⊂平面PEF，所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.(2)解 方法一 如图，作PH⊥EF，垂足为H.由(1)得，PH⊥平面ABFD.以H为坐标原
10、点，的方向为y轴正方向，
11、
12、为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H－xyz.由(1)可得，DE⊥PE.又DP＝2，DE＝1，所以PE＝.又PF＝1，EF＝2，所以PE⊥PF.所以PH＝，EH＝.则H(0,0,0)，P，D，＝，＝.又为平面ABFD的法向量，设DP与平面ABFD所成的角为θ，则sinθ＝＝＝.所以DP与平面ABFD
