2018年高考数学二轮复习 规范答题示例7 空间角的计算问题

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1、规范答题示例7 空间角的计算问题典例7 (12分)如图,AB是圆O的直径,C是圆O上异于A,B的一个动点,DC垂直于圆O所在的平面,DC∥EB,DC=EB=1,AB=4.(1)求证:DE⊥平面ACD;(2)若AC=BC,求平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值.审题路线图 (1)(2)―→―→―→―→规范解答·分步得分构建答题模板(1)证明 ∵DC⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴DC⊥BC,又AB是⊙O的直径,C是⊙O上异于A,B的点,∴AC⊥BC,又AC∩DC=C,AC,DC⊂平面ACD,∴BC⊥平面ACD,又DC∥EB,DC

2、=EB,∴四边形BCDE是平行四边形,∴DE∥BC,∴DE⊥平面ACD.4分(2)解 在Rt△ACB中,AB=4,AC=BC,∴AC=BC=2,如图,以C为原点建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),D(0,0,1),B(0,2,0),E(0,2,1),=(-2,0,1),=(0,2,0),=(-2,2,0),=(0,0,1).6分设平面ADE的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),则令x1=1,得n1=(1,0,2),设平面ABE的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),则令x2=1,得n2=(1,1,0).第一步找垂直:找出(或作

3、出)具有公共交点的三条两两垂直的直线.第二步写坐标:建立空间直角坐标系,写出特征点坐标.第三步求向量:求直线的方向向量或平面的法向量.第四步求夹角:计算向量的夹角.第五步得结论:得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角.310分∴cos〈n1,n2〉===.∴平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值为.12分评分细则 (1)第(1)问中证明DC⊥BC和AC⊥BC各给1分,证明DE∥BC给1分,证明BC⊥平面ACD时缺少AC∩DC=C,AC,DC⊂平面ACD,不扣分.(2)第(2)问中建系给1分,两个法向量求出1个给2分,没有最后

4、结论扣1分,法向量取其他形式同样给分.跟踪演练7 (2017·山东)如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,G是的中点.(1)设P是上的一点,且AP⊥BE,求∠CBP的大小;(2)当AB=3,AD=2时,求二面角E—AG—C的大小.解 (1)因为AP⊥BE,AB⊥BE,AB,AP⊂平面ABP,AB∩AP=A,所以BE⊥平面ABP.又BP⊂平面ABP,所以BE⊥BP,又∠EBC=120°,所以∠CBP=30°.(2)方法一 取的中点H,连接EH,GH,CH.因为∠EBC=120

5、°,所以四边形BEHC为菱形,所以AE=GE=AC=GC==.取AG的中点M,连接EM,CM,EC,则EM⊥AG,CM⊥AG,所以∠EMC为所求二面角的平面角.又AM=1,所以EM=CM==2.在△BEC中,由于∠EBC=120°,由余弦定理得EC2=22+22-2×2×2×cos120°=12,所以EC=2,因此△EMC为等边三角形,故所求的角为60°.3方法二 以B为坐标原点,分别以BE,BP,BA所在的直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.由题意得A(0,0,3),E(2,0,0),G(1,,3),C(-1,,0),故

6、=(2,0,-3),=(1,,0),=(2,0,3),设m=(x1,y1,z1)是平面AEG的一个法向量.由可得取z1=2,可得平面AEG的一个法向量m=(3,-,2).设n=(x2,y2,z2)是平面ACG的一个法向量.由可得取z2=-2,可得平面ACG的一个法向量n=(3,-,-2).所以cos〈m,n〉==.因此所求的角为60°.3

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