浙江专用2019高考数学二轮复习专题五函数与导数第2讲函数与方程学案

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1、第2讲　函数与方程[考情考向分析]　求函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择题、填空题的形式出现．热点一　函数的零点1．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象

2、交点的横坐标．例1　(1)已知f(x)＝＋x－，则y＝f(x)的零点个数是(　　)A．4B．3C．2D．1答案　C解析　令＋x－＝0，化简得2

3、x

4、＝2－x2，画出y1＝2

5、x

6、，y2＝2－x2的图象，由图可知，图象有两个交点，即函数f(x)有两个零点．(2)关于x的方程(x2－2x)2e2x－(t＋1)(x2－2x)ex－4＝0(t∈R)的不等实根的个数为(　　)A．1B．3C．5D．1或5答案　B解析　设f(x)＝(x2－2x)ex，则f′(x)＝(x＋)(x－)ex，所以函数f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上单调

7、递增，在(－，)上单调递减，且当x→－∞时，f(x)→0，f(－)＝(2＋2)f(0)＝0，f()＝(2－2)当x→＋∞，f(x)→＋∞，由此画出函数y＝f(x)的草图，如图所示．关于x的方程(x2－2x)2e2x－(t＋1)(x2－2x)ex－4＝0，令u＝f(x)，则u2－(t＋1)u－4＝0，Δ＝(t＋1)2＋16>0，故有两个不同的解u1，u2，又u1u2＝f(－)f()＝－4，所以不等实根的个数为3.思维升华　函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有(1)函数零点大致存在区间的确定．(2)零点个数的确定．(3

8、)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解．跟踪演练1　(1)定义在R上的函数f(x)，满足f(x)＝且f(x＋1)＝f(x－1)，若g(x)＝3－log2x，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内的零点有(　　)A．3个B．2个C．1个D．0个答案　B解析　由f(x＋1)＝f(x－1)得f(x)的周期为2，作函数f(x)和g(x)的图象，图中，g(3)＝3－log23>1＝f(3)，g

9、(5)＝3－log25<1＝f(5)，可得有两个交点，所以选B.(2)已知函数f(x)满足：①定义域为R；②∀x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)；③当x∈[－1,1]时，f(x)＝－

10、x

11、＋1，则方程f(x)＝log2

12、x

13、在区间[－3,5]内解的个数是(　　)A．5B．6C．7D．8答案　A解析　画出函数图象如图所示，由图可知，共有5个解．热点二　函数的零点与参数的范围解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数与方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．例2　(1)(2018·浙江省

14、重点中学联考)已知a∈R，函数f(x)＝若存在三个互不相等的实数x1，x2，x3，使得＝＝＝－e成立，则a的取值范围是________．答案　(－∞，－2)解析　＝＝＝－e成立，等价于方程f(x)＝－ex有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝－ex有三个不同的交点，易知直线y＝－ex与y＝e－x的图象相切，已有一个交点，只需直线y＝－ex与曲线y＝a＋(x>0)有两个不同的交点即可，由－ex＝a＋，得ex2＋ax＋1＝0，∴Δ＝a2－4e>0，解得a>2或a<－2，又方程的两个根之和为

15、正数，故－>0，∴a<0.综上所述，a<－2.(2)(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)A．[－1,0)B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)答案　C解析　令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象可知，当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1

16、＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意；当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.思维升华　(1)方程f(x)＝g(x)根的个数即为函数y＝f(x)和y＝g(x)图象交点的个数．(2)关于x