2019年高考数学二轮复习 专题训练四 第2讲 数列求和及综合应用 理

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1、2019年高考数学二轮复习专题训练四第2讲数列求和及综合应用理考情解读　高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题：1.以递推公式或图、表形式给出条件，求通项公式，考查用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力，属中档题；2.通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中档题．1．数列求和的方法技巧(1)分组转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再

2、合并．(2)错位相减法这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列．(3)倒序相加法这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(4)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．这种方法，适用于求通项为的数列的前n项和，其中{an}若

3、为等差数列，则＝.常见的裂项公式：①＝－；②＝(－)；③＝(－)；④＝(－)．2．数列应用题的模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．(3)混合模型：在一个问题中同时涉及等差数列和等比数列的模型．(4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加(或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)时，我们称该模型为生长模型．如分期付款问题

4、，树木的生长与砍伐问题等．(5)递推模型：如果容易找到该数列任意一项an与它的前一项an－1(或前n项)间的递推关系式，我们可以用递推数列的知识来解决问题．热点一　分组转化求和例1　等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nlnan，求数列{bn}的前n项和Sn.思维启迪　(1)根据表中

5、数据逐个推敲确定{an}的通项公式；(2)分组求和．解　(1)当a1＝3时，不合题意；当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；当a1＝10时，不合题意．因此a1＝2，a2＝6，a3＝18，所以公比q＝3.故an＝2·3n－1(n∈N*)．(2)因为bn＝an＋(－1)nlnan＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1)＝2·3n－1＋(－1)n[ln2＋(n－1)ln3]＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，所以Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－

6、1＋…＋(－1)n]·(ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln3.当n为偶数时，Sn＝2×＋ln3＝3n＋ln3－1；当n为奇数时，Sn＝2×－(ln2－ln3)＋ln3＝3n－ln3－ln2－1.综上所述，Sn＝思维升华　在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最后再验证是否可

7、以合并为一个公式．　已知数列{an}中，a1＝1，anan＋1＝()n(n∈N*)．(1)求证：数列{a2n}与{a2n－1}(n∈N*)都是等比数列；(2)若数列{an}的前2n项和为T2n，令bn＝(3－T2n)·n·(n＋1)，求数列{bn}的最大项．(1)证明　因为anan＋1＝()n，an＋1an＋2＝()n＋1，所以＝.又a1＝1，a2＝，所以数列a1，a3，…，a2n－1，…，是以1为首项，为公比的等比数列；数列a2，a4，…，a2n，…，是以为首项，为公比的等比数列．(2)解　由(1)可得

8、T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝＋＝3－3()n，所以bn＝3n(n＋1)()n，bn＋1＝3(n＋1)(n＋2)()n＋1，所以bn＋1－bn＝3(n＋1)()n(－n)＝3(n＋1)()n＋1(2－n)，所以b1b4>…>bn>…，所以(bn)max＝b2＝b3＝.热点二　错位相减法求和例2　设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝2Sn＋n＋1(n∈N*)