2018年秋高中数学 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.2 用二分法求方程的近似解学案 新人教A版必修1

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1、3.1.2　用二分法求方程的近似解学习目标：1.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件．(重点)2.了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解．(难点)3.会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解．(易混点)[自主预习·探新知]1．二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．思考：若函数y＝f(x)在定义域

2、内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？[提示]　二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解．2．二分法求函数零点近似值的步骤[基础自测]1．思考辨析(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．(　　)(2)函数f(x)＝

3、x

4、可以用二分法求零点．(　　)(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×2．用二分法求函数f(x)在(a，

5、b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是(　　)A．

6、a－b

7、<0.1B．

8、a－b

9、<0.001C．

10、a－b

11、>0.001D．

12、a－b

13、＝0.001B　[据二分法的步骤知当区间长度

14、b－a

15、小于精确度ε时，便可结束计算．]3．已知函数y＝f(x)的图象如图311所示，则不能利用二分法求解的零点是________．图311x3　[∵x3左右两侧的函数值同号，故其不能用二分法求解．]4．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经过计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零

16、点x0∈________，第二次应计算________.【导学号：37102358】(0,0.5)　f(0.25)　[∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴x0∈(0,0.5)，故第二次应计算f(0.25)．][合作探究·攻重难]二分法的概念　已知函数f(x)的图象如图312所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　)图312A．4,4　　　　　　　B．3,4C．5,4D．4,3D　[图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D.][规律方

17、法]　判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合.[跟踪训练]1．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　)【导学号：37102359】A　　　　B　　　　　　C　　　　　DB　[二分法的理论依据是零点存在性定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解．而选项B图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点．另外，选项A，C，D

18、零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点．]用二分法求函数零点的近似值[探究问题]1．用二分法求方程的近似解，如何决定步骤的结束？提示：当零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度时，二分法步骤结束．2．用二分法求方程的近似解时，精确度不同对零点有影响吗？提示：精确度决定步骤的始终，故精确度不同，零点可能会不同．　求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋1的一个负零点(精确度0.01).【导学号：37102360】思路探究：[解]　确定一个包含负数零点的区间(m，n)，且f(m)·f(n)<0.因为f(－1)

19、>0，f(－2)<0，所以可以取区间(－2，－1)作为计算的初始区间，当然选取在较大的区间也可以．用二分法逐步计算，列表如下：端点(中点)端点或中点的函数值取值区间f(－1)>0，f(－2)<0(－2，－1)x0＝＝－1.5f(x0)＝4.375>0(－2，－1.5)x1＝＝－1.75f(x1)≈2.203>0(－2，－1.75)x2＝＝－1.875f(x2)≈0.736>0(－2，－1.875)x3＝＝－1.9375f(x3)≈－0.0974<0(－1.9375，－1.875)x4＝＝－1.90625f(x4

20、)≈0.3280>0(－1.9375，－1.90625)x5＝＝－1.921875f(x5)≈0.1174>0(－1.9375，－1.921875)x6＝＝－1.9296875f(x6)≈0.0105>0(－1.9375，－1.9296875)由于

21、－1.9296875＋1.9375

22、＝0.0078125<0.01，所以函数的一个负零点近似值可取为－1.9296875.母题探究：1.(