大角度振动单摆周期的探究

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1、大角度振动单摆周期的探究刘继龙(10210124)摘要：当单摆的角振幅变化较大时，单摆的周期不仅与摆长还与振幅有关。本文主要就单摆的周期与其角振幅的关系做探究，从而对单摆的运动有一个完整的认识。关键词：单摆，角振幅，振动周期1单摆运动的理论分析单摆的运动方程为:mld2O=-mgsin0积分得—co2=—cos^+C2/当/二0时，a)=O,0=Om,可得C=-gcos0m/ld2Og.—=——sm&dt2I在小角度的情况下，sin&u。，可得因此角速度的人小为cie~dt=co=(cos〃一cos仇门d2O其中乩=翰'

2、©为圆频率。可知：单摆在小角度的情况F做简谐振动，振动周期为单摆的周期为Jcos&-cos0可见，在小角度振动的情况下，单摆的周期与角振幅无关，这称为单摆的等时性。单摆的角速度为⑵二——，因此dtd2O_dco_dcodO~d^~dt~~d3~dtdco=co——de所以codco=-—sOd0利用半角公式可得T=rj'fdd°”2Jsin2(^/2)—血2(0/2)并设Z:=sin—,ksinx=sin(0/2)2可得T.zr/2j其中K伙)二［.被称为椭圆积()Ji-k2sin2x分。2数值分析到接近180°的

3、时候，角速度的曲线与简谐运动偏离很大。利川matlab数值积分计算椭I员I积分可以得到周期与角振幅之间的关系图（程序见附件）。由上图可以看出，当角振幅在20°以内时，单摆的周期几乎不变。当角振幅在20°-40°之间时,单摆的周期稍冇增加。当角振幅接近180°时，单摆的周期急剧增加。在角振幅较大的情况下，单摆的角位移如下图所示，当角振幅在90°以内的时候，单摆的角位移和简谐运动的标准点基本上是重合的，因此可以用余弦近似表示；当角振幅大于90°时，单摆的角位移打简谐运动的标准点有所偏移；当角振幅接近180。时，单摆的周期显著

4、增加，角位移显著偏离简谐运动，角位移的极人值和极小值处十分“平坦：，表示单摆在该处运动的较慢。和应的可以发现，单摆的角振幅在90°以内，单摆的角速度与简谐运动基本相同，单脚振幅增大3结论通过上述的计算，可以得到以下的结论1•单摆的振动周期与振幅有关，并且随着振幅的增人而增人。2.周期与振幅Z间的关系并不是线性的，而是随着振幅的增大，周期增大是速度也变大。4程序1.T=ellipke(sin(thm/2)A2)*2/pi;t=0:0.1:30;options.RelTol=1e-6;Lt,TH]=ode45('myfun0

5、r,t,[thm,0]);thl=TH(:,l);th2=TH(:,2);plot(t,th2)holdonclear,thm=50/180*pi;T=ellipke(sin(thm/2)A2)*2/pi;(=0:0.1:30;options.RclTol=1c-6;[t,TH]=ode45('myfun0r,t,[thm,0]);thl=TH(:,l);th2=TH(:,2);plot(t,th2)clear,thm=90/180*pi;T=ellipke(sin(thm/2)A2)*2/pi;t=0:0.1:30;o

6、ptions.RelTol=1e-6;Lt,TH]=ode45('myfun0r,t,[thm,0]);thl=TH(:J);th2=TH(:,2);plot(t,th2)titleC单摆的角度);xlabelC时间t/T);ylabcl('角度0')2.functionf=Fun(t,th)f=[th(2);-sin(th(l))];plot(theta,TO)holdonfori=l:18x(i)=theta(10*i);y(i)=T0(10*i);endplot(x,y,'o')ylabel(T/T_0*);xla

7、bel(^heta_m/(°)')3.clear;theta=0:179;thm=theta*pi/l80;T0=ellipke(sin(thm/2).A2)*2/pi;