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1、对一道高考题的探究安徽省泗县笫二中学（234300）徐辉题目：（安徽省2008年高考数学试题理科第22题）如图1,设椭圆为了不失一般性设P（a,b）（在圆外），圆C方如图2,设点Q、A、B的处标为于是x-Ax.a=—1-A1-AX]+Ax21+2))+心21+兄图2于两不同点A,B时,在线段AB上取点Q,满足网•鋼岡•岡.证明:点Q总在某定直线上.22容易求得椭圆c的方程：7+斗=1；点Q总在定直线：2兀+y-2=042上•对于（II）若椭圆是其它圆锥曲线，点Q是否还在定直线上?定直线是什么样的直
2、线?笔者做了以下探究.探究一若椭圆是圆，则点Q是否在某定直线上?程为：%2+y2=r~.（%,刃、（西,yJ、（兀2,旳）・由题设矢口
3、乔
4、
5、列,
6、
7、
8、亜
9、均不为零,记］=rr=L=Sr=兄，则2>0且几H1・又A、B、P、Q四点共线，从而AP=-APB,AQ=AQB从而ax=^2-A2x221-22①by=1-Z2又A,B在圆C上,即x,2+yi2=r2,……③x22+y22=r2f……④①+②并结合③，④得直线ax+by=r它是我们非常熟悉的一条直线,即过P(a,b)点向圆C作切线，两切点的
10、连线.结论：过点P(a,b)的动直线/与圆C相交于两不同点A,B时,在线段AB上取点Q,满足网•国卜应卜
11、列.则点Q总在过P(a,b)点向圆C作切线，两切点的连线上.容易验证原题(II)所求得的直线2兀+y-2=()是过P(4,1)点向椭22圆『汁作切线,两切点的连线•这个结果对任意椭圆是否都成立呢？探究二设P(a,b)(在椭圆外)，椭圆C:2+By2=cG4>0,B〉0)・利用探究一的方法可得点Q在定直线Aax^Bby=C±,下面证明此直线就是过P点向椭圆C作切线，两切点的连线.图3证：如图3,
12、设两切点M、N的坐标为(兀3，儿)、(“，儿)・由椭圆方程Ax2+By2=C得2Ax+Ibyy=0,y=则过M点的切线方程为由点ByP(a,b)在切线上得b-y3=-^-(a-x3),①又M点在椭圆上，即Ax32+By32=c,……②由①、②得Aax3+Bby3=C,③同理，由过N点的切线得Aax4+Bby4=C,④rh③、④得过两切点M、N的直线是Aax+Bby=C证毕.结论：过点P(a,b)的动直线/与椭圆C相交于两不同点A,B时,在线段AB上取点Q,满足网•国卜应卜岡.则点Q总在过P(a,b
13、)点向椭圆C作切线，两切点的连线上.方程2+By2=C(CH0),若仙<0则表示的曲线是双曲线，因此上述结论对双曲线也成立，那么对抛物线是不是成立呢？探究三设P(a,b),抛物线C:/=2Mp>0),(P点在抛物线左测)如图4,设点Q、A、B的处标为不为零，记肆胃
14、阀I陀I(兀』)、(州，必)、(兀2』2)・由题设知
15、乔两范可
16、均=2,则2>0且2工1・乂A、B、P、Q四点共线，从而pa=aaq9pb=-abqa-Ax1-Ah-Ay1-2_a+Ax—1+2b+Ay1+A由43，开)』(兀2，儿)在
17、抛物线C上，将①、②分别代入C的方程y2=2px{p>0),整理得(b+Qy)?=2〃(g+/Ix)(1+/1)③(/?-Ay)2=2p(a-2x)(l-A)④③-④得^4by=A4p(x+a)・・・心0,.・.纱=〃(x+G)即Q点总在直线上可以证明此直线是过P点向抛物线C作切线，两切点的连线.证:如图4,设两切点M、N的坐标为(x39y3).(x49y4),由抛物线C的方程：y2=2px(p>0)得2yy'=2p,y=—.y则过M点的切线方程为y-y3=—(x-x3),由点P(a.,b)在切线
18、上得y又M点在上抛物线C上，即儿彳=2理，……②由①、②得by3=p{a+Xy）,③同理，由过N点的切线得切=p（a+x4）,④由③、④得过两切点M、N的直线是by=p（a+x）证毕.结论:过点P（a,b）的动直线/与抛物线C相交于两不同点A,B时,在线段AB上取点Q,满足网•国卜应卜岡.则点Q总在过P（a,b）点向抛物线C作切线，两切点的连线上.定理1过一点P作直线/和圆锥曲线C交于A、B两点，点P在线段AB延长线上，点Q为线段AB上一点，且满足网•国卜应
19、•岡,则Q点总在过P点向圆锥曲线C作切
20、线，两切点的连线上.在上述定理屮，若P点在线段AB上,Q点在线段AB延长线上，其它条件不变,Q点还在一定直线上吗？，若是，它又是怎样的一条直线？下面以椭圆为例进行探究.设P（a,b）（在椭圆内），椭圆C：Ax2+By2=C（A>0,B>0,C0）.利用探究一的方法可得点Q在定直线Aax+Bby=C上.下面探究直线Aax+Bby=C的位置.图5如图5,以P点为中点作圆锥曲线C的弦MN,过M、N作圆锥曲线C的切线交于点E,过E点作弦MN的平行线EF,下面证明平行线EF的方程是Aax+B
