资源描述：
《对一道数学高考题的探究.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、对一道数学高考题的探究文/肖建华—、原题再现（2009年高考湖北卷数学理科第20题）过抛物线线与抛物线相交于M、N两点，自M、N分别向直线l:x=-a作垂线，垂足分别为N、.尸=2px（p>0）对称轴上一点4（a,O）（a>0）的直（I）当a聖吋，求证：AM】丄AN、.211二、证题分析当a」时，点A即为抛物线y2=2px（p>0）的焦点，直线l:x=-a为抛物线2宀2吨>0）的准线•设M（器川、怜J，则"知J、M（-知）要证明AM】丄只需证明AMCAN}=0,即证明（一卩必）・（一从儿）=0,故只需证jr明）卩2+P=0，或者证明ZMM=—三、题根追溯1
2、.（人教版第二册上第119页习题7）过抛物线y2=2px（p>0）的焦点的一•条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标分别为）［、v2,求证：yxy2=-p2.2.（新课标选修2-1第70页例5）过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D.求证：克线DB平行于抛物线的对称轴.该题虽然没有要求证明yxy2=-p2,但是要证明直线DB平行于抛物线的対称轴，也就是证明D、B两点的纵坐标相同.因为D、0、A三点共线，于是可用A点的纵坐标表示D点的纵坐标，从而得出A、B纵坐标的关系.四、一题八证（证法一）设M（*）［）、N
3、gyJ,则彳」）、R（—彳，儿），于是有乙厶AM】=（—#,）［）,AN^=（-p,y2）.显然直线MN的斜率不为0,于是可设直线MN的方程为x=C+£.因为牙、儿是方程y2-2pty^-p2=0的两个根，山韦达定理可得）1儿=—“2,所以有AM】-AN}=(-p,y})-(-/?,y2)=-p~+y}y2=0,即AM}丄AN、.22（证法二）设M（【-,”）、2p2p22因为M、A、N三点共线，所以而//丽.所以（一一£）“一（巴-一£））[=0,整理2p22p2得)'
4、儿=_P‘•从而有AM}-AN}=(-p,y})-(-p,y2)=-p2+y,y2=
5、0,BPAM}丄Ay.（证法三）山抛物线的定义可得MN=MA+1=MM}+
6、wj.99_+»+#.整理2p2p设M（菁,开）、M（詮儿），则“知J、M（-知2）.将MN=MA+AN代入坐标，得(亘―丄)2+(*_儿)2=匹「儿y2p2p于是有"儿=一"2AM]•如V]=（-卩”）・（一〃」2）=一〃2+）卩2=°，即AS丄AN】.（证法四）设A点内分MN的比为2,于是有?0?斤+2灯2p2p.p1+2~2•消去几得）[儿=~p2x+e_o.1+2从而有AM{-AN{=(_〃,)1)・(_〃,儿)=_#2+y2=0,即AM}丄AN、.
7、（证法五）山新课标选修2-1第70页例5可知妙、M的纵坐标相同.山N、0、三点共线，得儿=一亘,即y^=~P2•从而有儿一AM】・AN]=（-#,），[）・（一#,儿）=一#2+）卩2=°，即AM】丄AN、.（证法六）设抛物线的参数方程为x=2pt（（为参数），于是可设M（2pt^2pt}）,y=2ptNQpt?,2ptJ・因为M、N为两个不同的点，所以r,^t2.山M、A、N三点共线，可知AM//4N,于是有(/,-r2)(4/?7,r2+p2)=0.整理得4/72^2+p2=0,即也=一扌.所以)卩2=2必・202=4卩2居=一〃2•从而有AM]・A
8、N]=(-“,)，])•(—“,儿)=一/^+.22=0，即AM
9、丄AN、.(证法七)以抛物线的焦点为极点，则其极坐标方程为。=―1-—,于是可知1一cos&M(p,0)、N(p,;r+0).所以)[)。=——-——sin<9——(-sin^)=-/?2.从而有1-cos0I+cos0AM^AN}=(-p,y])-(-p,y2)=-p2+V1y2=(),即AM{丄AN、.(证法八)曲抛物线的定义可得
10、MM]=MA,
11、NN
12、
13、=
14、NA
15、,于是有ZMM}A=ZMAMrZNNA=ZNAN、・因为MMJINN,,所以ZMMA+ZNNA=tt,即7T(tt
16、—2ZMAMJ+(兀一ZNANJ=兀•于是得ZMAM^ZNAN^-.所以71ZM、AN严即AM】丄AN、.五、证后反思根据上述题目的证明过程，我们可以得出如下结论：若过抛物线r=2/7x(/?>0)的焦点F的直线与此抛物线柑交于A、B两点，过A、B两点分别向抛物线的准线引垂线，乖足分别为人、色，则丄目F(等价于A、B两点的纵坐标之积为-尸).根据上述结论，我们猜想:椭圆和双曲线是否也具有丄述类似的性质呢？现以椭圆为例,说明上述性质是抛物线特有的性质.若过椭圆二+与=l(d〉b>0)的焦点F的育线与该椭圆相交于A、B两点，过A、Ba~b~两点分别向椭圆的焦点
17、F的相应准线引垂线，垂足分别为人、B「因为直线AB的斜率不能为0,
