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1、第三章基础实验基础实验方法一基础实验示范:函数与简单函数表示第一部分疾窮亦导召—、实验目的1.理解Taylor公式的意义；2.认识Taylor公式的地位和作用；3.了解较复朵函数的简单函数表示。二、实验使用的软件Mathematica5.0或以上版本.三、实验的基本理论及方法1・Taylor公式1.1带皮亚诺余项的Taylor公式设函数/（兀）在兀。处〃阶可导，则y—（兀一兀0）“+。（（兀一兀0）"）・k=0k.特別地兀0=0,即得MacIaurin公式亍忙+如）.A=0k・1.2带拉格朗日余项的Taylor公式设
2、函数/（x）eC；爲,且fMeC；舄,Sou[a,b],则(n+DM空害D+心(r严k=0k.(/?+!)!•其中g介于x与兀。之间.特别地兀o=0,即得Maclaurin公式5+1)其中歹介于兀与0Z间.2.幕级数展开8给定函数/（兀）及任意一点工。是否能找到一个幕级数工役（兀-兀0），在其收敛区间内n=0的和函数恰好就是给定的函数/（X）呢？如果能找到这样的幕级数，我们就说/（X）在心能展开成幕级数，而该幕级数就称为/（X）的在该点处的幕级数展开式。2.傅里叶级数展开对波的研究在物理学和工程技术屮显得非常重要，它
3、反映了物质作周期运动的运动规律，我们常常川一个以T为周期的周期函数/（r）=/（/+?）來描述它。而简谐振动是授简单的一种周期运动，其运动规律为y=Asm（cot+（p）,其中y表示动点的位置，f表示吋间，A表示振幅，©是初相，血为角频率•那么其它的波能否用无穷多个简谐波的叠加来表示是傅里叶级数所要解决的问题。若函数/（%）是以2”为周期的周期函数，且在区间［-兀,疗］上连续或只有有限个第一类间断点，而且只有有限个极值点（上述条件称为狄里克雷充分条件），则有（1）当兀是/（力的连续点时，00(1)(2)工(％cosn
4、x+bnsinnx)n=其中的系数an,hn由式（2）确定1ATcin=—/(x)cosnxdx,n=0,l,2,--71—1p/rbn=—f(x)sinnxdx,n=1,2,•••71丄兀其中,式⑴的右端称为函数/（兀）的傅立叶级数;式（2）称为傅立叶系数公式。（2）当x是/（力的间断点时，傅立叶级数收敛于^［/（x-0）+/（x+0）］1.编写Mathematica程序，从图象上观察多项式与函数的接近或逼近2在同一坐标系里分别作出多项式函数）'=兀，y=x+—,y=%2,y=兀—兀彳,2Xy=x-・3!335r
5、”,r盍+才…和函数"g的图象.观察这些多项式函数的图象向J=sinx的图象逼近的情况.函数/(兀)、gM=sinx在区间[a,切上图象可用如下Mathematica程序画出f[x_]=expr；g[x_]=Sin[x];Plot[{f,g},{x,a,b),{PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,1,0]}}]思考：哪些多项式函数能与J=sinx逼近？在什么范围内逼近？其它函数？1.构造多项式与函数逼近设多项式函数pn(x)=aQ+。]兀+・・・+色兀"与函数/(兀)逼近，则
6、Mathematica计算程序如下n=n0;f[xj=expr;a[x,k_]=D[f,{x,k)]/k!;Table[a[0,k],{k,0,n}];p[x_,n]=Sum[a[0,k]*xAk,{k,0,n}]先对Sin兀分别构造一阶、二阶、…、十五阶Maclaurin多项式，并从图象观察逼近程度与范围。取X。=1对sin兀分别构造一阶、二阶、…、十五阶Taylor多项式，并从图象观察逼近程度与范围。再取=7113Xjsinx分别构造-•阶、二阶、…、十五阶Taylor多项式，并从图象观察逼近程度与范围。当〃To
7、o时，Maclaurin(Taylor)^项式函数趋向于什么函数？2.傅立叶级数"1分别取n=10,20,画出函数y~sin(2*-l)x在区间[-3龙,3兀]上的图象.当k=_1HToo时,这个函数趋向于什么函数？Mathematica程序是：f[x^z:=Sinn[Sin[k*x]/k,{k,n,2}]Plot[f[xz10]z{x,-2Pi,2Pi}]输出结果:Mathcmatica程序是：f[x_,n^J:=Sum[Sin[kwx]/k,{kz1,n,2}]Plot[f[x,20],{xz-2Pi.,2Pi
8、}]输出结果:Mathematica没有专门的命令将一个周期函数进行傅里叶级数展开，但我们可以通过下列的程序将一个以2兀为周期的周期函数展开成有限阶不带任何余项的傅里叶级数n=Input[“n二flx_]=Input[”f[x]=”]L=(l.O/Pi*NIntegrate[f[x],{x,・Pi,Pi}];For[i=l,i<=n,i++,L
