基础数学实示例-实验指导书.doc

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1、第三章基础实验基础实验方法—基础实验示范：函数与简单函数表示第一部分实验指导书一、实验目的1．理解Taylor公式的意义；2．认识Taylor公式的地位和作用；3．了解较复杂函数的简单函数表示。二、实验使用的软件Mathematica5.0或以上版本.三、实验的基本理论及方法1．Taylor公式1．1带皮亚诺余项的Taylor公式设函数在处阶可导,则.特别地，即得Maclaurin公式.1．2带拉格朗日余项的Taylor公式设函数且,则其中介于与之间.特别地，即得Maclaurin公式其中介于与之间.2．幂级数展开给定函数及任意一点是否能找到一个幂级数，在其收敛区间内的

2、和函数恰好就是给定的函数呢？如果能找到这样的幂级数，我们就说在能展开成幂级数，而该幂级数就称为的在该点处的幂级数展开式。3．傅里叶级数展开对波的研究在物理学和工程技术中显得非常重要，它反映了物质作周期运动的运动规律，我们常常用一个以为周期的周期函数来描述它。而简谐振动是最简单的一种周期运动，其运动规律为，其中表示动点的位置，表示时间，表示振幅，是初相，为角频率.那么其它的波能否用无穷多个简谐波的叠加来表示是傅里叶级数所要解决的问题。若函数是以2为周期的周期函数，且在区间上连续或只有有限个第一类间断点，而且只有有限个极值点（上述条件称为狄里克雷充分条件），则有（1）当是的

3、连续点时，(1)其中的系数由式（2）确定（2）其中，式(1)的右端称为函数的傅立叶级数；式（2）称为傅立叶系数公式。（2）当是的间断点时，傅立叶级数收敛于四、实验的内容与步骤1.编写Mathematica程序，从图象上观察多项式与函数的接近或逼近在同一坐标系里分别作出多项式函数，，，，，，，…和函数的图象．观察这些多项式函数的图象向的图象逼近的情况．函数、在区间上图象可用如下Mathematica程序画出f[x_]=expr;g[x_]=Sin[x];Plot[{f,g}，{x，a，b},{PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,1

4、,0]}}]思考：哪些多项式函数能与逼近？在什么范围内逼近？其它函数？2.构造多项式与函数逼近设多项式函数与函数逼近，则Mathematica计算程序如下n=n0;f[x_]=expr;a[x,k_]=D[f,{x,k}]/k!;Table[a[0,k],{k,0,n}];p[x_,n]=Sum[a[0,k]*x^k,{k,0,n}]先对分别构造一阶、二阶、…、十五阶Maclaurin多项式，并从图象观察逼近程度与范围。取对分别构造一阶、二阶、…、十五阶Taylor多项式，并从图象观察逼近程度与范围。再取对分别构造一阶、二阶、…、十五阶Taylor多项式，并从图象观察逼

5、近程度与范围。当时，Maclaurin(Taylor)多项式函数趋向于什么函数?3．傅立叶级数分别取，画出函数在区间上的图象．当时，这个函数趋向于什么函数?Mathematica程序是：输出结果：图3.1.1Mathematica程序是：输出结果：图3.1.2Mathematica没有专门的命令将一个周期函数进行傅里叶级数展开，但我们可以通过下列的程序将一个以2为周期的周期函数展开成有限阶不带任何余项的傅里叶级数n=Input[“n=”];f[x_]=Input[＂f[x]=＂]L=(1.0/Pi*NIntegrate[f[x],{x,-Pi,Pi}];For[i=1,

6、i<=n,i++,L=L+(1.0/Pi)*NIntegrate[f[x]*Cos[i*x],{x,-Pi,Pi}]*Cos[i*x]+(1.0/Pi)*NIntegrate[f[x]*Sin[i*x],{x,-Pi,Pi}]*Sin[i*x];];L例编辑一个程序从图形上演示傅里叶级数逐步逼近锯齿波的过程。解n＝Input[“n=”];f[x_]=Which[x>=-Pi&&x<0,x+Pi,x>=0&&x<=Pi,x];L=(1.0/Pi)*NIntegrate[f[x],{x,-Pi,Pi}];For[i=1,i<=n,i++,L=L+(1.0/Pi)*NInte

7、grate[f[x]*Cos[i*x],{x,-Pi,Pi}]*Cos[i*x]+1.0/Pi*NIntegrate[f[x]*Sin[i*x],{x,-Pi,Pi}]*Sin[i*x];Plot[L,{x,-2.0*Pi,2.0*Pi},Axes->True];]图3.1.3图3.1.4图3.1.5图3.1.3、图3.1.4及图3.1.5分别是锯齿波的10阶、20阶傅里叶和式及其本身的图形。从这些图形我们可以观察出，随着的增大，傅里叶和式的图形越来越接近锯齿波的图形，因此傅里叶和式的图形在时的极限状态即为锯齿波。作业：1．解读实验指导书