2018-2019高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 2.1 比较法教案 新人教A版选修4-5

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1、2.1比较法一、教学目标1．理解比较法证明不等式的依据．2．掌握利用比较法证明不等式的一般步骤．3．通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用．二、课时安排1课时三、教学重点掌握利用比较法证明不等式的一般步骤．四、教学难点通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用．五、教学过程（一）导入新课已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.【证明】　2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b

2、＞0,从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.（二）讲授新课教材整理1　作差比较法1．理论依据：①a＞b⇔；②a＝b⇔a－b＝0；③a＜b⇔.2．定义：要证明a＞b，转化为证明，这种方法称为作差比较法．3．步骤：①；②变形；③；④下结论．教材整理2　作商比较法1．理论依据：当b＞0时，①a＞b⇔；②a＜b⇔＜1；③a＝b⇔＝1.2．定义：证明a＞b(b＞0)，只要转化为证明，这种方法称为作商比较法．3．步骤：①作商；②变形；③判断商与1大小；④下结论．（三）重难点精讲题型一、作商比较法证明不等式例1已知a＞0，b＞0且a≠

3、b，求证：aabb＞(ab).【精彩点拨】→→→【自主解答】　∵a＞0，b＞0，∴aabb＞0，(ab)＞0，作商＝aa·b＝.∵a≠b，∴当a＞b＞0时，＞1且＞0，∴＞1，而(ab)＞0，∴aabb＞(ab).当b＞a＞0时，0＜＜1且＜0，∴＞1，而(ab)＞0，∴aabb＞(ab).综上可知a＞0，b＞0且a≠b时，有aabb＞(ab).规律总结：1．当不等式的两端为指数式时，可作商证明不等式．2．运用a＞b⇔＞1证明不等式时，一定注意b＞0是前提条件．若符号不能确定，应注意分类讨论．[再练一题]1．已知m，n∈R＋，求证：≥.【证明】　因为m，n∈

4、R＋，所以≥＝，令ω＝＝m·n＝，则：①当m>n>0时，>1，m－n>0，则ω>1.②当m＝n时，ω＝1.③当n>m>0时，0<<1，m－n<0，则ω>1.故对任意的m，n∈R＋都有ω≥1.即≥，所以≥.题型二、比较法的实际应用例2　甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？【精彩点拨】　设从出发地点至指定地点的路程是s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2，要回答题目中的问题，只要比较t1，t2的大小就可

5、以了．【自主解答】　设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2，依题意有：m＋n＝s，＋＝t2.∴t1＝，t2＝，∴t1－t2＝－＝＝－.其中s，m，n都是正数，且m≠n，∴t1－t2＜0，即t1＜t2，从而知甲比乙先到达指定地点．规律总结：1．应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也即建立数学模型是解应用题的关键．2．在实际应用不等式问题时，常用比较法来判断数的大小关系．若是选择题或填空题，则可用特殊值加以判断．[再练一题]2．通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面(指

6、横截面)的周长相等，试问：截面为圆的水管流量大还是截面为正方形的水管流量大？【解】　设截面的周长为l，依题意知，截面是圆的水管的截面面积为π·2，截面是正方形的水管的截面面积为.∵π·－＝＝.由于l＞0,0＜π＜4，∴＞0，∴π·＞.因此，通过水管放水，当流速相同时，如果水管的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大．题型三、作差比较法例3已知a，b∈R，求证：a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.【精彩点拨】　此不等式作差后是含有两个字母的二次式，既可配成平方和的形式，也可根据二次三项式的判别式确定符号．【自主解答】　法一　∵a2＋b2－ab－a－b

7、＋1＝[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0，∴a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.法二　a2＋b2－ab－a－b＋1＝a2－(b＋1)a＋b2－b＋1，对于a的二次三项式，Δ＝(b＋1)2－4(b2－b＋1)＝－3(b－1)2≤0.∴a2－(b＋1)a＋b2－b＋1≥0，故a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.规律总结：1．作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差值的多少．2．因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，可利用

8、“Δ”判定符号．[再练一题]3．已知a＞b＞c，证明