浅谈函数定义域与思维品质

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1、浅谈函数定义域与思维品质衡阳市衡钢中学周鹏思维品质是指个体思维活动特殊性的外部表现。它包括思维的严密性、思维的灵活性、思维的深刻性、思维的批判性和思维的敏捷性等品质。函数作为高屮数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是构成函数的两大耍1Z-,函数的定义域(或变量的允许值范忤I)似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途。在解函数题中强调运义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维品质是十分有益的。一、函数关系式与定义域苗数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关

2、系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如:例1:某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m,求矩形的而积S与矩形长x的函数关系式？解：设炬形的长为x米，则宽为(50-x)米，由题意得：S=x(50—x)故函数关系式为：S=x(50-x).如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少口变量兀的范用。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量X的范围：0<兀

3、<50即：函数关系式为：S=x(50-x)(0

4、)2_4・・・当兀=1时，ymin=-4初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到己知条件发生变化。这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。其实以上结论只是对二次函数y=ax2-^bx^c(a>0)在R上适用，而在指定的定义域区间［p,g］上，它的最值应分如下情况：h(0当——V"时，y=fM在［p,g］上单调递增函数2afMmin=/(PX/WmaxHA⑵当——>q时,y=/(x)在［”,q］一上单调递减函数2a/Wmax=/

5、（PX/U）min=fS；⑶当p5--Sg时，y=f(x)在［”,q］上最值情况是:2a4ac-b2""4a/(x)max=max{/(p),/((?)}.即最大值是f(p)J⑷中最大的一个值。故本题还要继续做下去:・・•-2<1<5・・・/(-2)=(-2)2-2x(-2)-3=-3/(5)=52-2x5-3=12・•・/(x)max=max{/(-2),/(5)}=f(5)=12・・・函数y=x2-2x-3在［一2,5］上的最小值是一4,最人值是12.这个例了说明，在苗数定义域受到限制时，若能注意定义

6、域的取值范围对函数最值的彫响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的灵活性。三、函数值域与定义域函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随Z而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如:例3：求函数y=4x-5+yJlx-3的值域•错解：令z=72x-3jij2x=/2+3177/.y=2(r2+3)-5+z=2r2+r+l=2(r+-)2+->—-488故所求的函数值域是

7、-,+oo).8剖析：经换元后，应有/'(),而函数y=2厂+f+1在［0,+°°)上是增函数，所

8、以当t=0时,Ymin=1•故所求的函数值域是［1,+嗚•以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错谋结果的产生。也就是说，学生若能在解好题1=1后，检验已经得到的结果，善于找出和改正自C的错误，善于精细地检查思维过程，便体现出良好的思维批判性。四、函数单调性与定义域函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给泄的定义域区间上进行。如：例4：指出函数/(x)=log2(x2+

9、2x)的单调区间.解：先求定义域:・.・X2+2x>0函数定乂域为(-00,-2)U(0,+oo)•令u=/+2兀，知在xG(-00,-2)±时，u为减函数，在xe(0,+oo)±时，u为增函数。乂・・・/(x)=log2u在［0,+8)是增函数..•・函数/(x)=log2(x2+2兀)在(-00,-2)±是减函数，在(0,+00)上是增函数。即函数/(x)=log2(x2+2x)的单调递增区间(0,4-00),单调递减区间