分类计数原理和分布计数原理

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1、10．1分类计数原理和分步计数原理问题一(1)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中火车有3班，汽车有2班，那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种方法？分析：因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以，共有3+2=5种不同的走法.(2)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船一天中，火车有4班,汽车有2班，轮船有3班那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?分析：从甲地到乙地有3类方法：第一类方法，乘火车，有4种方法；第二类方法，乘汽车，有2种方法；第三类方法，乘轮船，

2、有3种方法；所以，从甲地到乙地共有4+2+3=9种方法甲地乙地火车汽车轮船1.分类计数原理(加法原理)：完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法m1m2mn甲地乙地火车汽车轮船③从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地，一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？分析:这个问题与前一个问题不同，采用乘火车或乘汽车的任何一种方式，都可以从甲地到乙地；而这一个问题中必须先经过乘火车再乘汽车两个步骤

3、才能甲地到乙地。因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以，乘一次火车再接着乘一次汽车从甲地到乙地，共有3×2种不同走法所有走法：火车1──汽车1；火车1──汽车2；火车2──汽车1；火车2──汽车2；火车3──汽车1；火车3──汽车2④由A村去B村的道路有2条，由B村去C村的道路有3条从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？分析:从A村经B村去C村有2步,第一步,由A村去B村有2种方法,第二步,由B村去C村有3种方法,所以从A村经B村去C村共有2×3=6种不同的方法2.分步计数原理(乘法原理)：完成一件事，需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做

4、第二步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法m1mnm2（1）分类计数原理(加法原理)中，“完成一件事，有n类办法”，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏，只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以.（2）分步计数原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n个步骤”，是说每个步骤都不足以完成这件事，这些步骤，彼此间也不能有重复和遗漏，同样只有满足这个条件才能用乘法原理，否则不可以．1.分类计数原理(加法原理)：完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的

5、方法，……，在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法m1m2mn2.分步计数原理(乘法原理)：完成一件事，需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法m1mnm2原理解析：（3）两个基本原理的异同点相同点：分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数的问题。不同点：分类计数原理与“分类”有关，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．（4）两个原理，可以与物理中电路的

6、串联、并联类比．例题讲解：例1．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？解：（1）从书架上任取1本书，有3类办法：第1类办法是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类办法是从第3层取1本体育书，有2种方法根据分类计数原理，不同取法的种数是4+3+2=9种所以，从书架上任取1本书，有9种不同的取法；（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：

7、第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步从第2层取1本艺术书，有3种方法；第3步从第3层取1本体育书，有2种方法根据分步计数原理，从书架的第1、2、3层各取1本书，不同取法的种数是种Ｎ＝所以，从书架的第1、2、3层各取1本书，有24种不同的取法例2．一种号码拨号锁有３个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这３个拨号盘可以组成多少个三位数号码？解：每个拨号盘上的数字有10种取法，根据分步计数原理，３个拨号盘上各取1个数字组成的三位数字号码的个数是，所以，可以组成1000个四位数号码例3．要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少

8、种不同的选法？解：从3名工人中选1名上日班和1名上晚班，可以看成是