任意角三角函数一

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1、任意角的三角函数(一)教学目标：1．通过对初中锐角三角函数定义的回忆，掌握任意角三角函数的定义法，并掌握用单位圆中的有向线段表示三角函数值．2．掌握已知角终边上一点坐标，求四个三角函数值．（即给角求值问题）教学重点：任意角的三角函数的定义．教学难点：任意角的三角函数的定义，正弦、余弦、正切这三种三角函数的几何表示．教学用具：直尺、圆规、投影仪．教学步骤：1．设置情境角的范围已经推广，那么对任一角是否也能像锐角一样定义其四种三角函数呢？本节课就来讨论这一问题．2．探索研究（1）复习回忆锐角三角函数我们已经学

2、习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值，定义了角的正弦、余弦、正切、余切的三角函数，本节课我们研究当角是一个任意角时，其三角函数的定义及其几何表示．（2）任意角的三角函数定义如图1，设是任意角，的终边上任意一点的坐标是，当角在第一、二、三、四象限时的情形，它与原点的距离为，则．定义：①比值叫做的正弦，记作，即．②比值叫做的余弦，记作，即．图1③比值叫做的正切，记作，即．同时提供显示任意角的三角函数所在象限的课件提问：对于确定的角，这三个比值的大小和点在角的终边上的位置是否有关呢？利用

3、三角形相似的知识，可以得出对于角，这三个比值的大小与点在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关．请同学们观察当时，的终边在轴上，此时终边上任一点的横坐标都等于0，所以无意义，除此之外，对于确定的角，上面三个比值都是惟一确定的．把上面定义中三个比的前项、后项交换，那么得到另外三个定义．④比值叫做的余切，记作，则．可以看出：当时，的终边在轴上，这时的纵坐标都等于0，所以的值不存在，当时，对于确定的角，比值，分别是一个确定的实数，所以我们把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看成是以角为自变量，以比值为函数值的

4、函数，以上六种函数统称三角函数．（3）三角函数是以实数为自变量的函数对于确定的角，如图2所示，，，分别对应的比值各是一个确定的实数，因此，正弦，余弦，正切分别可看成从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，当采用弧度制来度量角时，每一个确定的角有惟一确定的弧度数，这是一个实数，所以这几种三角函数也都可以看成是以实数为自变量，以比值为函数值的函数．即：实数→角（其弧度数等于这个实数）→三角函数值（实数）（4）三角函数的一种几何表示利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线，

5、余弦线，正切线，如下图3．图2图3设任意角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，这条切线必然平行于轴，设它与角的终边（当为第一、四象限时）或其反向延长线（当为第二、三象限时）相交于，当角的终边不在坐标轴上时，我们把，都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段．由正弦、余弦、正切函数的定义有：这几条与单位圆有关的有向线段叫做角的正弦线、余弦线、正切线．当角的终边在轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角的终边在轴上时，余弦线变成一个点，

6、正切线不存在．（5）例题讲评【例1】已知角的终边经过，求的四个三角函数值（如图4）．解：∵∴图4提问：若将改为，如何求的六个三角函数值呢？（分，两种情形讨论）【例2】求下列各角的六个三角函数值（1）；（2）；（3）．解：（1）∵当时，，∴，，不存在（2）∵当时，，∴，不存在（3）当时，，∴不存在练习（学生板演，利用投影仪）课本P19练习1，2【例3】作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．（1）；（2）．解：，的正弦线，余弦线，正切线分别为．【例4】求证：当为锐角时，．证明：如右图，作单位圆，当时作出正弦线

7、和正切线，连∵∴∴利用三角函数线还可以得出如下结论的充要条件是为第一象限角．的充要条件是为第三象限角．【例5】（1）角的终边在直线上，求的六个三角函数值．（2）角的终边经过点，求，，，的值．（3）说明的理由．．解答：（1）先确定终边位置①如在第一象限，在其上任取一点，，则，②如在第三象限，在终边上任取一点，则，（2）若，不妨令，则在第二角限∴（3）在终边上任取一点，因为与终边相同，故也为角终边上一点，所以成立．说明：以后会知道，求三角函数值的方法有多种途径．用定义求角的三角函数值，是基本方法之一．当角终边

8、不确定时，要首先确定终边位置，然后再在终边上取一个点来计算函数值．3．反馈训练（1）若角终边上有一点，则下列函数值不存在的是（）．A．B．C．D．（2）函数的定义域是（）．A．B．C．D．（3）若，都有意义，则．（4）若角的终边过点，且，则．参考答案：（1）D；（2）B；（3）或8，说明点在半径为的圆上；（4）－6．4．本课小结利用定义求三角函数值，首先要建立直角坐标系，角顶点和始边要按既定的位置设置．角的三角函数定义式，其实