吴新慧直线与椭圆的位置关系(二)

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1、直线与椭圆的位置关系椭圆的简单几何性质怎么判断它们之间的位置关系？问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？d>rd0∆<0∆=0几何法：代数法：问题3：怎么判断它们之间的位置关系？能用几何法吗？问题2：椭圆与直线的位置关系？不能！所以只能用代数法----求解直线与二次曲线有关问题的通法。因为他们不像圆一样有统一的半径。例1、已知直线y=x-与椭圆x2+4y2=2，①判断它们的位置关系。x2+4y2=2解：联立方程组消去y∆>0因为所以，方程（１）有两个根，则原方程组有两组解….-----(1)例题讲解（一）.直线与椭圆的位置关系※小结：椭圆与直线的位置关系及判断方法判断方法这是求解直

2、线与二次曲线有关问题的通法。∆<0，∆=0，∆>0（1）联立方程组（2）消去一个未知数（3）看提出问题：当直线与椭圆相交时，如何求被截的弦长？例题讲解例1、求直线y=x-被椭圆x2+4y2=2所截的弦长

3、AB

4、.x2+4y2=2解：联立方程组消去y-----(1)由韦达定理得利用弦长公式求解：（二）.弦长问题1、直线与圆相交的弦长(几何法）A（x1,y1）小结：直线与二次曲线相交弦长的求法dr2、直线与其它二次曲线相交的弦长（1）联立方程组（2）消去一个未知数（3）利用弦长公式:

5、AB

6、=k表示弦的斜率，x1、x2、y1、y2表示弦的端点坐标，一般由韦达定理求得

7、x1-x2

8、与

9、y1-y2

10、通

11、法B（x2,y2）=设而不求（三）.中点弦问题弦中点问题的两种处理方法：（1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；（2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。总结:练习:中心在原点一个焦点为　　　的椭圆的截直线　　　　　　所得弦的中点横坐标为　　，求椭圆的方程．分析：根据题意可设椭圆的标准方程，与直线方程连里解方程组，利用中点公式求得弦的中点的横坐标，最后解关于　　的方程组即可．解：设所求椭圆的方程为由　　　　　得　　　　　　　①把直线方程代入椭圆方程，整理得设弦的两个端点为　　　　　，　　　　，则由根与系数的关系得又中点的横坐标为　　．由此得解①、②得：例2：在椭圆x2+4y2

12、=16中，求通过点M（2，1）且被这一点平分的弦所在的直线方程.-2-424xyM(2,1)0解一：（显然，只须求出这条直线的斜率即可）如果弦所在的直线的斜率不存在，即直线垂直于x轴，则点M（2，1）显然不可能是这条弦的中点。故可设弦所在的直线方程为y=k(x-2)+1，代入椭圆方程得x2+4[k(x-2)+1]2=16即得(1+4k2)x2-(16k2-8k)x+16k2-16k-12=0∵直线与椭圆有两个交点,故△=16(k2+4k+3)>0①又②两式联立解得k=，∴直线方程为x+2y-4=0.评：※.本例在解题过程中，充分考虑了椭圆与直线相交有两个交点这一事实，由此得出△=16(k2+4

13、k+3)>0，又利用了中点坐标，列出了方程，从而使问题得到解决.这种方法是常用的方法，大家务必掌握.但是，这种解法显得较繁（特别是方程组16()>0显得较繁）解二：设弦的两个端点分别为P(x1,y1),Q(x2,y2)则x1+x2=4,y1+y2=2∵在P(x1,y1),Q(x2,y2)椭圆上,故有x12+4y12=16x22+4y22=16两式相减得(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0∵点M（2，1）是PQ的中点,故x1≠x2，两边同除(x1-x2)得即4+8k=0∴k=∴弦所在的直线方程为y-1=(x-2)即x+2y-4=0.评：※.本解法设了两个端点的坐标，而

14、我们并没有真的求出它们，而是通过适当变形，得到了从而揭示了弦所在的直线斜率k与弦中点坐标(x0,y0)之间在椭圆标准方程的前提下的关系：mx0+ny0k=0.显得很简便.※.但在解题过程中应注意考虑x1≠x2的条件！如果有这种可能性，可采用讨论的方法，先给以解决.如果不可能有这种情况，则应先说明例2：在椭圆x2+4y2=16中，求通过点M（2，1）且被这一点平分的弦所在的直线方程.-2-424xyM(2,1)0练习：在椭圆中，求通过点M（1，1）且被这一点平分的弦所在的直线方程.综合：已知椭圆与直线相交于两点，是的中点．若，斜率为（Ｏ为原点），求椭圆方程．分析：本例是一道综合性比较强的问题，求

15、解本题要利用中点公式求出点坐标，从而得的斜率，另外还要用到弦长公式：解：由方程组消去整理得：即：②①解①②得所求的椭圆方程为（四）.椭圆中的最值问题1.过椭圆的右焦点与x轴垂直的直线与椭圆交于A,B两点，求弦长

16、AB

17、oxyoxy思考：最大的距离是多少？3.如果点Ａ的坐标为（１，１），F1是椭圆　　　　　　　的左焦点，点Ｐ是椭圆上的动点，求:（1）

18、PA

19、+

20、PF1

21、的最小值；（2）

22、PA

23、+

24、P