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1、浅谈复数的欧拉公式及其应用摘要：本文在复数域上给出欧拉公式£=cos兀+isin兀的五种证明；通过实例说明欧拉公式在高等数学某些部分屮的应用，从而简化了常规方法的繁杂.关键词：复数；欧拉公式；微分积分应用-欧拉公式的历史来源等式e"=COS&+isin0称为复数的欧拉公式(Euler*scomplexnumberformula)。1714年，英国数学家科兹(1682-1716),首先发表了下述定理(用现代记号表示)：,0=ln(cos0+isin0)1740年，著名数学家欧拉(1707-1783)在给约.伯努利(1667-1748)的信COSX=r.t-i.e+e屮
2、写道,y=2cos%和y=S'+e"都是同一个微分方程的解.因此它们应该相等.sinx=ix-ixe-e1743年，欧拉又发表了这个结果，1748年欧拉垂新发现了科兹所发现的结果，它等价于e/x=cosx+zsinx,(xeR)这就是著名的欧拉公式.若设x=7i,得e"=cos”+isin〃即e"+l=°・这是一道被誉为美妙无比的式子，因等式将数学内五个极重要的数：e,i,兀，1,0连起來！欧拉公式被称为“世界上最杰岀的公式”，关于它也有一个好玩的故事.欧拉早年曾受过良好的神学教育，成为数学家后在俄国宫廷供职.一次，俄女皇邀请法国哲学家狄德罗访问。狄德罗试图通过使朝
3、臣改信无神论來证明他是值得被邀请的.女皇厌倦了，她命令欧拉去让这位哲学家闭嘴.丁是，狄德罗被告知，一个有学问的数学家用代数证明了上帝的存在，要是他想听的话，这位数学家将当着所冇朝臣的面给出这个证明.狄德罗高兴地接受了挑战.第二犬，在宫廷上，欧拉朝狄德罗走去，用一种非常肯定的声调一本正经地说：“先生，ex+i=o,因此上帝存在•请回答！”对狄德罗来说，这听起来好像有点道理，他困惑得不知说什么好•周围的人报以纵声大笑，使这个可怜的人觉得受了羞辱.他请求女皇答应他立即返回法国，女皇神态自若地答应了.二欧拉公式的证明证法1:复指数函数定义法因为对任何复数z=x-^iy,(x
4、,yg/?),复指数函数定义为q=e'°=e(cos>'+^iny)•所以，当z的实部兀=0时，就得到欧拉公式Qy=cosy+isiny(证毕)证法2：分离变量积分法设复数=cosx+zsinx,(xG/?),两边对x求导数，得dz.■—1=-sinx+zcosx=/sinx+Zcosx=z(cosx+zsinx)=iz.dx分离变量并对两边积分，得^—dz=Jidx,即lnz=汪+C取x=0得C=0,故有lnz=*,即QX=cosx+zsinx・(证毕)证法3：复数專级数展开式法因为，则有弍=£斗，而n=0?!=0(XGR),^(-l)nX2n苕(―1)心兀2门c
5、osx=>,smx=>,幺(2n)!ft(2—1)!矿w•・^(-iyix2n.£(—I)""/”」*(沅)”/t(证毕)所以cosx+isinx=>+<〉=〉=e‘”=0(2力！的(2—1)•”=o加证法4：变上限积分法考虑变上限积分JJ—dt.因为(一dt=arctant=arctany,又因为:)dt=-[ln(r+z)-ln(r-i)]彳=-[ln(v+“再设arctany=0,由此得y=tan0，所以有1(y+lFi(tan6>+02,("=2Un/+l-ln(-1)]=2llntan叨一吩川=-[IncosT(tan&+“-=$2&一？,sin&cos&
6、—sin2&)2-12■=—ln[(cos(-0)+isin(-&)尸]=z*ln[cos(-^)+isin(-&)],(证毕)即i(-0)=ln[cos(-&)+isin(—0)].令兀=一0,^ix=ln(cosx+zsinx),即有e"=cosx+isinjc.证法5：极限法当x=0时，欧拉公式显然成立；当xhO时，考虑极限lim(l+—)n,(xgR,ngN)・>00一方面,令t=—,则冇lim(l+—)n=lim[(l+-)z]h=e,A.ix"TOOnNT8I另一方而，将1+空化为三角式，得n1+—=-/1+(―)2[cos(arctan(—))+isi
7、n(arctan(—))],nnn•nnn而lim[l+(-)2]2=>OCn所以冇lim(l+3)"=cosx+zsinx・由(1)(2)”T8n三欧拉公式的应用1欧拉公式在三角中的应用基本公式由欧拉公式e"=cos0+isinO,容易推出=cos&-isin0eJ我由棣莫夫公式得(1+—)H=[1+(—)2]^[cos(narctan(—))+isin(/2arctan(—))],xlimsin(7?arctan(—))=x齐toon两式得e’x=cosx+zsinx.tan&=i(e"+e")nx1,limcos(narctan(—))=x,"Toon
