3、圆E上第一象限内的点，点P关于原点。的对称点为4、关于无轴的对称点为Q,线段PQ与兀轴相较于点C,点D为CQ的中点，若直线4D与椭圆E的另一个交点为B，试判断直线PA、PB是否相互垂直？并证明你的结论.解（I）易得双曲线的焦点坐标分别是（巧,0）、（-Q,0）,椭圆E的方程是X221—+v~=1.4•（II）判断结果必丄PB下而给出几种方法给出证明：（解法1（点差法）设4石」），则a（-西,-比）、Q（m）和d西,-#,所以直线PA、AB的斜率分别是纭=邑，kAB=kAD=•故］^=4%・设Bg,力），贝V直线BP
4、,BA的斜率分别是kBP=世丄和kBA=型丄x2-x,兀2+兀1r221又因为予+畀=1和号+丈=1,两式作差可得g.如=_?所以kpA・kpB=_・故PA丄PB.解法2（向量法）设P（x0,y0）,由题意知，A（-x0,-y0）,D（%0,-^）.则AD=（2x（）,*y°丿.由于三点共线，所以存在AeT?使得AB=^AD={l^-y因此，<2丿（厂2、、（（7\OB=OA+AB=（2/l-l）x0,--1y0,即B点坐标为（2/1—l）x°,--1y°・k2丿丿\2丿>所以PB=W-）x.i--2y
5、且将B点坐标代入到椭圆方程可得12丿丿（4丘+斓才-4（丘+加+总+4泌-4=0.兀2又因为¥+所以上述等式可简化为（4总+泌），-4（诸+強）2=0,所以兄=：［：$）或者几=0（舍去）.乂因为OP=（如,儿），所以OP・PB=2（2-1疋+——2）可=（）,2丿因此，PA丄PB.解法3（坐标法）设P（x0,y0）f有题意知，人（-兀0，-北），Dg，-号）.因此直线AD的方程：歹=丑兀-鱼.代入到椭圆E方程中消去〉，可得4X（）4（4球+yl）x2一6応兀+9兀况一16总=0,由于方程（1）有一根为-兀0，
6、故由韦达定理可知-%0+XB=4兀+疋所以二4丘+7勺忧二4丘儿+7號3儿二X-2丘儿"一4对+并'"_4（4卅+爲）4~4对+总所以直线PB的斜率是kpB=如丄=-玉・又因为直线PA的斜率kPA=^,必一兀0X）兀0所以kpA・kpR=7,即PA丄PB.方法4（同一法）设戶（勺,北），有题意知，A（-x0,-y0）,D（x0,-^）.设X为椭圆上一点，且阳丄PBI则直线PB'的斜率kpB，=耳，所以直线方程y二玉兀+止垃，代入到椭圆£方程屮消去），可得X）>0（4球+疝兀2一张0（总+泌）兀+4（总+泌）2一4竞=
7、0,由于方程（2）有一根为兀,解得％4£+7佩4兀+朮沪请^所以所以A,Z）,Bf三点共线，故3和3’重合.因此，PA丄PB.现在来看这一题，的确经典，设计以深厚的教材素材为背景，但又不拘泥于教材，计算量不大，且学生容易入手；借助于解法1,可将北师大版教材选修2-1第68页习题3-1A组第8题推广到一般的椭圆中去，即有下面结论：命题1：设P（x0,y0）为关于原点的对称Q,M为一动点、.若直线PM、QM的斜率满足kPM-kQM=-—（a>b>0）,则M点的轨迹方程为寻手+決"±1命题2：设P、Q和M为椭圆二+爲=1（
8、。>方〉0）上的点，且P、Q为关crZr于原点的对称.若直线PM、0W的斜率都存在，则kp『事实上，对双曲线也有类似的结论：命题3：设P（x0,%）为关于原点的对称Q,M为一动点.若直线PM、QM的斜率满足kp胡•=厶，则M点的轨迹方程为刍—*=冷—备（x工±尢（））•T2v2命题4：设P.Q和M为双曲线飞-气=1(恥〉0)上的点，P、Q为关a
