数学建模网-ODE的求解

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1、2012.10.29ODE的求解MCMEditbyniubenContents1常微分方程求解问题2微分方程matlab求解32Contents常微分方程的基本概念及其在一些领域的应用实例;One数值解法：Euler法Runge-Kutta方法；Three求常微分方程解析解的方法以及如何借助数学软件Matlab来实现;TwoSimulink仿真在求解常微分方程上的应用.FourFive向量场绘图31.常微分方程概念由自变量、自变量的未知函数以及函数的导数组成的等式叫做常微分方程。自变量自变量的函数函数的导数4常微分方程概念（续）微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为

2、微分方程的阶数,所以一个n阶常微分方程的一般形式如下:这里是的已知函数,而且一定含有,y是x的未知函数.在以下内容中把常微分方程简称为“微分方程”或“方程”.5常微分方程概念（续）n阶线性方程:这里为x的已知函数。不是线性微分方程的方程称为非线性方程。6常微分方程概念（续）常微分方程的解初值问题（主要介绍本类问题，下面详细展开）边值问题（与这类问题相关的Matlab解法可以参考bvp4c函数）………………72.常微分方程的应用应用常微分方程理论是基础数学的重要组成部分之一，在反映客观现实世界运动过程的各种量之间的关系中，大量存在满足微分方程关系的数学模型.比如在自然科学、

3、经济、生态、人口以及交通等各个领域,某一个（或某几个）量的函数变化规律常用常微分方程（组）来描述，很多弹性物体振动、人口增长、种群竞争等模型都是使用相应的微分方程来描述的.8Logistic人口模型SIR传染病模型Volterra种群模型ODE模型:常微分方程的应用（续）9Lorenz族系统三分子化学动力学模型一种三神经元神经网络模型ODE模型:常微分方程的应用(续)10例.几个常见的微分方程模型111213高等数学中，曾经介绍过求一些常微分方程的解，比如：Bernoulli方程和恰当常微分方程(全微分方程)等等。但是对于复杂的方程，求解过程会比较繁琐，如何应用我们已经熟

4、悉的工具——Matlab来求常微分方程的解呢？4.常微分方程的求解？14对一般的常微分方程（下简称方程），一般来讲是不能够求出其解析解，但是对一类常见的特殊的方程——线性常微分方程而言，很容易求出其解.首先来看一般求解线性方程的命令：其中，可以描述微分方程，也可以描述初始条件.第一部分：解析解注：matlab用Dky表示y对x的k阶导数。系统默认的自变量为t15求解方程解例解析解应用dsolve命令y=dsolve(‘D2y=sin(t)’)，得到方程的通解y=-sin(t)+C1*t+C2，其中C1和C2为任意常数.求解方程解例方程的自变量为x，应指明自变量xy=dso

5、lve(‘D2y=cos(x)’,’x’),得到方程的通解y=-cos(x)+C1*x+C216解例求一右半平面上曲线使其任一点切线在纵轴上截距等于切点的横坐标.设曲线方程为依题意曲线上任意一点都应满足:应用Matlab求解y=dsolve(‘Dy=y/x-1’,‘x’)，得到y=-x*log(x)+C1*xxx,y17很显然这是一条定义域为正半轴的曲线，当C1取1和-1时图像分别如图所示，可以看出，Matlab能够很方便的求出一些并不直观的常微分方程的解析解.18在一个控制系统中，已知控制信号为：求解如下线性常微分方程：例若已知y(0)=3,Dy(0)=2，求其特解.首

6、先来计算方程右侧控制项,键入以下程序:>>symst;u=exp(-t)*cos(t);diff(u,t)+2*u%计算控制项的值得到控制项为exp(-t)*cos(t)-exp(-t)*sin(t)为求方程的解，键入以下命令:y=dsolve(‘D2y+2*Dy-3*y=exp(-t)*cos(t)-exp(-t)*sin(t)’);%求解得到最后结果如下:y=-1/5*exp(-t)*cos(t)+1/5*exp(-t)*sin(t)+C1*exp(t)+C2*exp(-3*t).下面来求在已有初始条件下方程的特解,键入>>y=dsolve('D2y+2*Dy-3*y

7、=exp(-t)*cos(t)-exp(-t)*sin(t)','y(0)=3','Dy(0)=2');%注意初始条件的写法.运行得到:y=-1/5*exp(-t)*cos(t)+1/5*exp(-t)*sin(t)+14/5*exp(t)+2/5*exp(-3*t).解高阶19解例求下述方程组的解析解当一个系统含有多个依赖于某自变量的函数的时候，就需要用常微分方程组来描述，对一般的线性微分方程组，仍然可以用dsolve来求解.求解过程如下：>>[x,y]=dsolve('D2y+2*Dx=x+2*y-exp(-t)','Dy