数理统计第31讲

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1、假设检验参数假设检验非参数假设检验这类问题称作假设检验问题.总体分布已知，检验关于未知参数的某个假设总体分布未知时的假设检验问题在本讲中，我们将讨论不同于参数估计的另一类重要的统计推断问题.这就是根据样本的信息检验关于总体的某个假设是否正确.让我们先看一个例子.这一讲我们讨论对参数的假设检验.生产流水线上罐装可乐不断地封装，然后装箱外运.怎么知道这批罐装可乐的容量是否合格呢？把每一罐都打开倒入量杯,看看容量是否合于标准.这样做显然不行！罐装可乐的容量按标准应在350毫升和360毫升之间.每隔一定时间，抽查若干罐.如每隔1小时，抽查5罐，得5个容量的值X1，…，X5，根

2、据这些值来判断生产是否正常.如发现不正常，就应停产，找出原因，排除故障，然后再生产；如没有问题，就继续按规定时间再抽样，以此监督生产，保证质量.通常的办法是进行抽样检查.很明显，不能由5罐容量的数据，在把握不大的情况下就判断生产不正常，因为停产的损失是很大的.当然也不能总认为正常，有了问题不能及时发现，这也要造成损失.如何处理这两者的关系，假设检验面对的就是这种矛盾.在正常生产条件下，由于种种随机因素的影响，每罐可乐的容量应在355毫升上下波动.这些因素中没有哪一个占有特殊重要的地位.因此，根据中心极限定理，假定每罐容量服从正态分布是合理的.现在我们就来讨论这个问题.

3、罐装可乐的容量按标准应在350毫升和360毫升之间.它的对立假设是：称H0为原假设（或零假设，解消假设）；称H1为备选假设（或对立假设）.在实际工作中，往往把不轻易否定的命题作为原假设.H0：（=355）H1：这样，我们可以认为X1,…,X5是取自正态总体的样本，是一个常数.当生产比较稳定时，现在要检验的假设是：那么，如何判断原假设H0是否成立呢？较大、较小是一个相对的概念，合理的界限在何处？应由什么原则来确定？由于是正态分布的期望值，它的估计量是样本均值，因此可以根据与的差距来判断H0是否成立.-

4、

5、较小时，可以认为H0是成立的；当-

6、

7、生产已不正常.当较大时，应认

8、为H0不成立，即-

9、

10、问题归结为对差异作定量的分析，以确定其性质.差异可能是由抽样的随机性引起的，称为“抽样误差”或随机误差这种误差反映偶然、非本质的因素所引起的随机波动.然而，这种随机性的波动是有一定限度的，如果差异超过了这个限度，则我们就不能用抽样的随机性来解释了.必须认为这个差异反映了事物的本质差别，即反映了生产已不正常.这种差异称作“系统误差”问题是，根据所观察到的差异，如何判断它究竟是由于偶然性在起作用，还是生产确实不正常？即差异是“抽样误差”还是“系统误差”所引起的？这里需要给出一个量的界限.问题是：如何给出这个量的界限？这里用到人们在实践中普遍采用的一个

11、原则：小概率事件在一次试验中基本上不会发生.下面我们用一例说明这个原则.小概率事件在一次试验中基本上不会发生.这里有两个盒子，各装有100个球.一盒中的白球和红球数99个红球一个白球…99个另一盒中的白球和红球数99个白球一个红球…99个小概率事件在一次试验中基本上不会发生.现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子里是白球99个还是红球99个？小概率事件在一次试验中基本上不会发生.我们不妨先假设：这个盒子里有99个白球.现在我们从中随机摸出一个球，发现是此时你如何判断这个假设是否成立呢？假设其中真有99个白球，摸出红球的概率只有1/100，这是小概率事件.这个例子中所使

12、用的推理方法，可以称为小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不使人怀疑所作的假设.带概率性质的反证法不妨称为概率反证法.小概率事件在一次试验中基本上不会发生.它不同于一般的反证法概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在一次试验中居然发生，我们就以很大的把握否定原假设.一般的反证法要求在原假设成立的条件下导出的结论是绝对成立的，如果事实与之矛盾，则完全绝对地否定原假设.请看红楼梦中的掷骰子现在回到我们前面罐装可乐的例中：在提出原假设H0后，如何作出接受和拒绝H0的结论呢？在假设检验中，我们称这个小概率为显著性水平，用表示.常取的选择要根据实际情况而定。罐装可乐的容量按标准应

13、在350毫升和360毫升之间.一批可乐出厂前应进行抽样检查，现抽查了n罐，测得容量为X1,X2,…,Xn，问这一批可乐的容量是否合格？提出假设选检验统计量~N(0,1)H0：=355H1：≠355由于已知，它能衡量差异大小且分布已知.对给定的显著性水平，可以在N(0,1)表中查到分位点的值，使故我们可以取拒绝域为：也就是说,“”是一个小概率事件.W：如果由样本值算得该统计量的实测值落入区域W，则拒绝H0；否则，不能拒绝H0.如果H0是对的，那么衡量差异大小的某个统计量落入区域W(拒绝域)是个小概率事件.如果该统计量的实测值落入W，也就是说，H0成立下