《数理统计》第7讲

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1、在解决许多概率问题时,往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.一、条件概率1.条件概率的概念如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率,将此概率记作P(A

2、B).一般P(A

3、B)≠P(A)P(A)=1/6,例如,掷一颗均匀骰子,A={掷出2点},B={掷出偶数点},P(A

4、B)=?掷骰子已知事件B发生,此时试验所有可能结果构成的集合就是B,于是P(A

5、B)=1/3.B中共有3个元素,它们的出现是等可能的,其中只有1个在集A中,容易看到P(A

6、B)P(A)=3/10,又如,10件产品中有7件正品,3件次品,7件正品中有3件一等品,4件二等品.现从这10件中任取一

7、件,记B={取到正品}A={取到一等品},P(A

8、B)P(A)=3/10,B={取到正品}P(A

9、B)=3/7本例中,计算P(A)时,依据的前提条件是10件产品中一等品的比例.A={取到一等品},计算P(A

10、B)时,这个前提条件未变,只是加上“事件B已发生”这个新的条件.这好象给了我们一个“情报”,使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.若事件B已发生,则为使A也发生,试验结果必须是既在B中又在A中的样本点,即此点必属于AB.由于我们已经知道B已发生,故B变成了新的样本空间,于是有(1).设A、B是两个事件,且P(B)>0,则称(1)2.条件概率的定义为在事件B发

11、生的条件下,事件A的条件概率.3.条件概率的性质(自行验证)设B是一事件,且P(B)>0,则1.对任一事件A,0≤P(A

12、B)≤1;2.P(S

13、B)=1;3.设A1,…,An互不相容,则P[(A1+…+An)

14、B]=P(A1

15、B)+…+P(An

16、B)而且,前面对概率所证明的一些重要性质都适用于条件概率.请自行写出.2)从加入条件后改变了的情况去算4.条件概率的计算1)用定义计算:P(B)>0掷骰子例:A={掷出2点},B={掷出偶数点}P(A

17、B)=B发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中A所含样本点个数例1掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点

18、数之和不小于10”的概率是多少?解法1:解法2:解:设A={掷出点数之和不小于10}B={第一颗掷出6点}应用定义在B发生后的缩减样本空间中计算由条件概率的定义:即若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A

19、B)(2)而P(AB)=P(BA)二、乘法公式若已知P(B),P(A

20、B)时,可以反求P(AB).将A、B的位置对调,有故P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B

21、A)(3)若P(A)>0,则P(BA)=P(A)P(B

22、A)(2)和(3)式都称为乘法公式,利用它们可计算两个事件同时发生的概率注意P(AB)与P(A

23、B)的区别!请看下面的例子例2甲、乙两厂共同

24、生产1000个零件,其中300件是乙厂生产的.而在这300个零件中,有189个是标准件,现从这1000个零件中任取一个,问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少?所求为P(AB).甲、乙共生产1000个189个是标准件300个乙厂生产300个乙厂生产设B={零件是乙厂生产}A={是标准件}所求为P(AB).设B={零件是乙厂生产}A={是标准件}若改为“发现它是乙厂生产的,问它是标准件的概率是多少?”求的是P(A

25、B).B发生,在P(AB)中作为结果;在P(A

26、B)中作为条件.甲、乙共生产1000个189个是标准件300个乙厂生产例3设某种动物由出生算起活到20年以

27、上的概率为0.8,活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的这种动物,它能活到25岁以上的概率是多少?解:设A={能活20年以上},B={能活25年以上}依题意,P(A)=0.8,P(B)=0.4所求为P(B

28、A).条件概率P(A

29、B)与P(A)的区别每一个随机试验都是在一定条件下进行的,设A是随机试验的一个事件,则P(A)是在该试验条件下事件A发生的可能性大小.P(A)与P(A

30、B)的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.而条件概率P(A

31、B)是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小,即P(A

32、B)仍是概率.条件概

33、率P(A

34、B)与P(A)数值关系条件概率P(A

35、B)是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小.那么,是否一定有:或P(A

36、B)P(A)?P(A

37、B)P(A)?请思考!!请看演示“条件概率与概率的相对大小”当P(A1A2…An-1)>0时,有P(A1A2…An)=P(A1)P(A2

38、A1)…P(An

39、A1A2…An-1)推广到多个事件的乘法公式:乘法公式应用举例一个罐子中包含b个白球和r个红球.随机地抽取一个球,观看颜色后放回罐中,并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.这种手续进行四次,试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.(波里

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