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1、抛物线焦点弦结论探究授课蒲海凤点评杜永来一、课堂实录[引言]抛物线的焦点弦是抛物线研究的一个重要方面，它具有许多优美的结论，这节课我们将由课本的一道习题出发，通过5次观察联想，多次的猜想、验证、证明，探索出抛物线的一类结论，结论固然重要，但所用的探究过程本身给我们的启发更为深刻。基本探究[投影]〈引例〉:过抛物线y2=2/ZV（p>0）的焦点F的直线与抛物线柑交丁-A、B两点，自A、B向准线作垂线，垂足分别为A、人2,求证：Z4iFB[=90‘可.Bt师:这是课本中的-道习题》髙二上册P133复
2、习奏考題B组第2题，同学们应该很快给出证明思路。生7：要证nJlZAjFJ?1是直角，因为A]F和B]F斜率都存在，只需证叨斜率相乘得即可，设A（“，x）,B（x2,V2），人1（一£，>'i），d（-£,）4），可求得k.k°=丄气1,其中y{y2由直线AB22p和抛物线方程联立可求得。师:好，思路非常淸晰。生2：山抛物线定义知4A]=AFBB、=BF则ZAA]F=AFA{上BB、F=上BFB、,又ZAAlF=FOZBB、F=ZB,FO,贝ijABXFO+GFO=背=90°师:这位同学注意到
3、图形小儿何关系，给出了一个更为简单的证法，我们把这一结论归纳为：结论1抛物线焦点弦的两个端点在准线上的射影和焦点的连线互相垂直。7.观察联想1頰我们要从这个问题出发进行观察联想，如果观察结论你能联想到什么？（学生思考）生:射影定理。奶，•说说看得到什么结论？生：由=90°知是直角三角形且FK丄A/］由射影定理得,网2=
4、锢・
5、时P2=yi［y2因）‘1，）勺异号，所以二一/异4頰对于这个同学推出的结论我们也并不陌生，貝是以前的证明方法不一样，以前我们是用什么方法得到这一结论的?生:设出两交
6、点坐标A（“，“）,Bg,y2）宜线AB方程与抛物线方程联立消去X或y得到一个一元二次方程，利川韦达定理得到两根之积，证得其中-•个结论，再由两点在直线上得另-结论。师;这两种方法证得A高二上册Pl19第7题的结论将其概括为p22结论2抛物线焦点弦的两个端点的同名坐标之积分别为常数」和一［广.42.观察联想2师:在回到结论1,注意到直角三角形与圆仃若密切的关系，山结论1发现点F在以为Ad为直径的圆上，观察图形特征不难发现直线AA{,BB、是圆M1的切线，那焦点弦AB与圆乂是什么位置关系呢?［投影
7、］嫌同学们猜测是相切的关系，我们可以考虑特殊惜况，当焦点弦变为通径时很明显结论是正确的，证实了我们的猜想，那么-•般的焦点弦该如何证明呢？同学们可以互相讨论一下。生［:既然点F在圆上，只需证明M、F丄设小（-牛，八），5（-牛，y2）则m（h+>?2k—2__戸+乃代FM~—-1PP2P22k_刃一％—刃一月—2p舛一丕H%刃+%2p2pkAB・kFM=—，即FM丄AB所以，以4］B］为直径的圆与AB相切于点F。生2：我是用儿何的方法，由抛物线定义=AF知ZAA^F=ZAFA},又ZM/f=
8、AMXFAX所以ZMlFA=ZAA]M[=90°师:同学们观察的非常好，这两个方法共同证明了以下的结论结论3以抛物线焦点弦在准线上的射影为直径的圆必与焦点弦相切于焦点。2.观察联想3师；抛物线和圆是解析儿何中既重耍乂活泼的两个元素，我们应该让它们成为亲密的合作伙伴。由于准线与焦点弦的伴随性，受联想2的川发，如果以焦点弦为直径画圆，观察该圆与准线乂有怎样的位置关系？［投影］MM,=12112则该圆与准线相切于点M］。师:我们不但证明了该圆与准线相切，而何证明了切点即为人出］的屮点，将其归纳为结论4
9、以抛物线焦点弦为直径的圆必与此抛物线的准线相切。2.观察联想4［投影］师;由上一结论，当焦点弦变为抛物线通径时不仅有4K丄BK,而且有ZAKF=ZBKF=45°,再一次把通径淡化为一•般的焦点弦时，画出几个图形观察AK与BK的垂直和平分的关系是否还能保持不变？（学生画图纠止抛物线作图的错误）师:有的同学们研究不出结论是因为图形训的不准确，我们应该注意课本屮给出的做抛物线简图的方法，力求将图做的准确，便于我们发现结论。生7：我通过作图发现垂直关系不一定成立，但平分关系似乎保持不变。頰好！这位同学给
10、了我们一个猜想，下面同学们的任务就是证明这个猜想。（学生讨论思路）生2；根据这两条直线的位置关系，可以证明它们的斜率互为相反数。娠：思路非常清晰，找同学们上來板演，其它同学一起做。I板演过程］22证明：她（辱小）,3（学,乃）2p2py二2py?—292p2结论5抛物线焦点弦的两个端点与准线和对称轴的交点连线所成的角被对称轴平分。5.观察联想5同理:+k/}K2〃（必+力）0'』2+/异）（才+b）（£+p2）即ZAKF=ZBKF*•*y*>?2=~p2••^AB+kpK=0［投影］E/X师
