数学：与旋转有关的猜想探究题

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1、与旋转有关的猜想探究题“旋转”是现实生活和生产中广泛存在的现彖，是现实世界运动变化的最简捷的形式z—,它不仅是探索图形一些性质的必要手段，而且也是解决现实

2、lt界中的具体问题以及进行数学交流的重要T具.在近儿年的小考试题中，以图形为载体、以旋转为手段考查同学们操作、想象、探究能力的小考题层出不穷，今举数例，供参考.例1・（河北）如图1一1,一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起.现正方形保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点0（点0也是中点）按顺时针方向旋转.（1）如图1—2,当EF与相交于点M,GF与BD相交于点N时，通过观察

3、或测量BM,用V的氏度，猜想BM,FN满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺GEF旋转到如图1一3所示的位置时，线段的延长线与A3的延长线相交于点M,线段的延长线与GF的延长线相交于点此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.D(F)CA7"BEA(G)B(E)、N、CG图1一3图1一1图1一2分析：木题主要考查旋转图形的性质，解答时应着眼于图形的旋转不变性来探索线段之间的变化规律.对于（1）问，经测量后可知然后利用三角形全等证明即可；对于（2）问，要明确，在继续旋转的过程中，虽然和△0F7V都发生了变化，但二者Z间全等的关系没

4、变.故结论成立.解：（1）BM=FN.证明：•••△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，・•・ZABD=ZF=45°fOB=OF.又VZBOM=ZFONf・•・/OBM^/OFN.・•・BM=FN.（2）BM=FN仍然成立.证明：•••△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是止方形,AZDBA=ZGFE=45%OB=OF.:.ZMBO=ZNFO=35°.乂•；ZMOB二ZNOF,・•・△OBM竺△OFN..・・BM=FN.评注：本题利用图形旋转的不变性，探索图形在旋转过程中的有关规律，让同学们休验图形旋转变换的性质，同时也考查了同学们空间想彖、

5、规律探索、推理能力以及分析问题、解决问题的能力，是一道不可多得的优秀题目.例2・（黑龙江鸡西）已知ZAOB=90°,在ZAOB的平分线OM上有一点C,将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB（或它们的反向延长线）相交于点D、E.当三角板绕点C旋转到CD与0A垂直时（如图1）,易证：OD+OE=pOC.当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明.图2・1图2・2图2-3分析：由于在旋转的过程屮，虽然点O的

6、位置发生了变化，但ZAOC和ZCOE的大小不变，都是45°,因此可过C分别作OA、OB的垂线，从而转化为等腰岂角三角形（图1）来处理.对于图3可仿图2处理.解：图2结论：OD+OE=V2OC.证明：过C分别作OA、OB的垂线，垂足分别为P、Q.ACPD^ACQE,DP二EQ.OP=OD+DP,DQ=OE-EQ.乂OP+OQ=V^OC,即OD+DP+OE・EQ=V^OC.・・・OD+OE=V20C.图3结论：OE-OD=V^OC.评注：从以上两例对以看出，解决这类问题的关键是耍把握以下两点：1•在解题时，认真观察图形，不放过一个细节，看清旋转的角度和方向，找准旋转前

7、后的相关的角与边，在旋转的过程中，弄清变与不变的最；2•再解决这类问题时，我们通常将其转换成全等形求解，根据旋转变换的特征，找到对应的全等形,通过线段、角的转换达到求解的目的.