小波变换基础

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1、第9章小波变换基础9.1小波变换的定义给定一个基本函数屮⑴,令1t-b必二~^=讥口)(9.1.1)式中均为常数，且。〉0。显然，屮3)是基本函数0(f)先作移位再作伸缩以后得到的。若不断地变化，我们可得到一族函数屮肿。给定平方可积的信号x(r),即x(Z)g/?(/?),则兀(/)的小波变换(WaveletTransform,WT)定义为=仪『)妙二⑴力=〈兀⑴,0心⑴〉(9.1.2)式中d,方和f均是连续变量，因此该式又称为连续小波变换(CWT)。如无特别说明，式屮及以后各式中的积分都是从-oo到+8。信号兀⑴的小波变换“人⑺劝是。和b的函数,b是时移，d是尺度因了。0(f)又称为慕

2、本小波，或母小波。%但)是母小波经移位和伸缩所产生的一族函数，我们称Z为小波基函数，或简称小波基。这样，(9.1.2)式的WT又可解释为信号班/)和一族小波基的内积。母小波可以是实函数，也可以是复函数。若兀(/)是实信号，0(/)也是实的，则WTx^b)也是实的，反之，WTx^b)为复函数。在(9.1.1)式中,b的作用是确定对兀(r)分析的时间位置,也即时间中心。尺度因子a的作用是把基本小波肖⑴作伸缩。我们在1.1节中已指出，由©⑴变成0(丄)，当。>1a时，若a越人，则0(丄)的时域支撑范围(即时域宽度)较之鸭⑴变得越人，反之，当a

3、联合越来确定了对班/)分析的中心位置a及分析的时间宽度，如图9.1.1所示。a4a3a2aci©(/)图9」」(a)基本小波,基木小波的伸缩及参数d和b对分析范1节

4、的控制(b)b>0,a=1,(c)b不变，a=2,(d)分析范围这样，(9.1.2)式的WTnJ'理解为用一族分析宽度不断变化的基函数对兀(f)作分析，由下一节的讨论可知，这一变化正好适应了我们对信号分析时在不同频率范围所需要不同的分辨率这一基木要求。是为了保证在不同的尺度a时，始终能和母函数0(/)冇着相同的能量，即⑴

5、2力#J以乎)山则dt=adtf,这样，上式的积分即等于』必)『力。令x(r)的傅里叶变换为X(G),0

6、⑴的傅里叶变换为屮(G),由傅里叶变换的性质,几上⑴的傅里叶变换为:%,⑴=±0(乎)O出"(⑵=皿丽严(9.1.3)rhParsevals定理,(9.1.2)式可重新表为:“人⑺小)=丄＜xg),屮讥(⑵〉=—「X(G)皆g)严dG(9.1.4)271J-°°此式即为小波变换的频域表达式。9.2小波变换的特点下而，我们从小波变换的恒Q性质、时域及频率分辨率以及和其它变换方法的对比来讨论小波变换的特点，以帮助我们对小波变换有更深入的理解。比较(9.1.2)和(9.1.4)式対小波变换的两个定义可以看出，如果心门在时域是有限支撑的，那么它和x(f)作内积后将保证WTx(a,b)在时域也是冇

7、限支撑的，从而实现我们所希望的吋域定位功能，也即使WTx(a.b)R映的是x(f)在b附近的性质。同样，若屮皿(0)具冇带通性质，即出“(⑵用绕着屮心频率是有限支撑的，那么屮〃(⑵和XQ)作内积后也将反映X(Q)在中心频率处的局部性质，从而实现好的频率定位性质。显然，这些性能正是我们所希望的。问题是如何找到这样的母小波0(/),使其在时域和频域都是冇限支撑的。冇关小波的种类及小波设计的问题，我们将在后续章节中详细讨论。由1.3节可知,若0(。的时间中心是岛,时宽是厶,屮(Q)的频率中心是0。,带宽是那么0(6的时间中心仍是/。，但时宽变成必「0(丄)的频谱Q屮⑺⑵的频率中aci心变为带宽

8、变成AQ/tZo这样，0(.的时宽一带宽积仍是AzAq,与q无关。这a一方面说明小波变换的时一频关系也受到不定原理的制约，但另一方面，也即更主要的是揭示了小波变换的一个性质，也即恒(2性质。定义(9.1.5)2=/Q.o=带宽冲心频率为母小波0(/)的詁质因数，对0(2),其a带宽冲心频率二企厶=aq/q0=2Cl0/a因此，不论Q为何值(a>0),肖(丄)始终保持了和0("具有性同的品质因数。恒Q性质a是小波变换的一个重要性质，也是区别于其它类型的变换且被广泛应用的一个重耍原因。图921说明了屮(G)和屮(gQ)的带宽及中心频率随a变化的情况。屮(Q)屮@£1)屮(dQ)2Aq图9.2

9、.1屮(afl)随a变化的说明；(a)a=>(b)a=2,(c)a=1/2将图9丄1和图91.2结合起来,我们可看到小波变换在对信号分析时有如下特点：当a变小时，对兀(!)的时域观察范围变窄，但对X(Q)在频率观察的范围变宽，门观察的中心频率向高频处移动，如图9.2.1c所示。反之，当Q变人时，对兀⑴的时域观察范用变宽，频域的观察范围变窄，且分析的中心频率向低频处移动，如图9.2.1b所示。将图9.1.1和9.2.1所反映的时一频