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1、第二十七讲探究开放问题一、课标下复习指南传统的解答题和证明题，具条件和结论都是由题口明确给出的，我们的工作就是由因导果或执果索因•而探究性问题一般没有明确的条件或结论，没有固定的形式和方法，要求我们认真收集和处理问题的信息，通过观察、分析、综合、归纳、概括、猜想和论证等深层次的探索活动，认真研究才能得到问题的解答.开放性、操作性、探索性和综合性是探究性问题的明显特征.这类题目形式新颖，格调清新，涉及的基础知识和基本技能十分广泛，解题过程屮有较多的创造性和探索性，解答方法灵活多变，既需要扎实的基础知识和基本技能,具备一定的数学能力，又需要思维的创造性和具
2、有良好的个性品质.二、例题分析1.探究规律对于探究规律的问题，需要认真审题，対题目提供的素材要进行观察、分析、综合，既耍从素材的单个元素（如某个式子、图形）的各部分观察其相互关系，也要从素材的一系列元素（如一系列的式了、图形）之间观察其运动变化规律（如什么变化了，什么没有变等等）•其小更多地用到归纳与类比的方法，把具体与抽象、静上与运动结合起來，先猜想出结论，然后再从理论上加以证明.例1观察下列各式：-x2=-+2,-x3=-+3,-x4=-+4,-x5=-+5,-11223344想一想，什么样的两数Z积等于这两数Z和?设川表示正整数，用关于斤的等式表
3、示这个规律.分析所给各式中的两个数中，一个是分数，一个是整数，且分数的分子比分母大1,分了与整数相等，因此得到规律：r?+1/7+[□•（川+1）=口+（况+1）（/7为止整数）nn这个规律是否正确呢?可将等式左右两边分別化简，即能得出结论.请同学们自己完成.说明对于“数字规律”的观察，要善于发现其中的变最与不变最，以及变量与项数之间的关系，将规律用代数式表示出來.72+2对于所猜规律是否止确要冇检验的意识，如在木题中把规律表示成5+2）=兀+1m+2肚三+（〃+2）0?为正整数）就是错误的，这是山于川=1时，用上式表示的等式不符合己知72+12?中的
4、第一项“一x2=—+1”这种情形.11例2一根绳了，弯曲成如图27—1（a）所示的形状，当用剪刀像图（b）那样沿虚线a把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图（c）那样沿虚线地〃°）把绳子再剪一次时，细子被剪为9段，当用剪刀在虚线a,bZ间把绳子再剪⑺一2）次（剪刀的方向与a平行），这样一共剪h次时，绳子的段数是（用含h的代数式表示）.»b2三圭I⑹(b)图27-1分析首先，在剪0次时，冇1段绳子；其次，每敢一次，绳子上多出4个断口，即绳子的段数增加4段，剪n次之后绳子的段数多出4/7段.解答4n+l(n为正整数).说明“图形规律”的探索问题，考查对
5、图形的观察能力，以及将数学图形转化为数学语言的能力，并将其表达为数学规律的能力.例3如图27-2,“ABC面积为1,第一次操作，分别延长BC,C4至点久，3】，Ci，使得AlB=AB,BC=BC,Cp4=CA,顺次连接A{BX,BC，M，得到△图27-2第二次操作，分别延长A}BlfBC,Cp4
6、至点血，％C2,使A1B}=A}BX,B2C
7、=B
8、C
9、,C2Ai=CA，顺次连接A2B2,B2C2,C2A2,得到△A2B2C2,…；按此规律，耍使得到三角形的而积超过2006,最少需经过次操作.••分析连接令C,可以发现厶A1BB]的面积是ABClf
10、ii积的2倍；同理△QCB]的面积、AAjAQ的面积都是AABC面积的2倍；所以△A/C的面积是ZiABC面积的7倍；按此规律△A2B2C2的面积是/A]BlCi而积的7倍.解4.说明本题是“操作规律”探索问题，这类问题的难点在于有-种趋向于无穷的状态,使得学生产生畏难情绪，所以首先要克服这种心理状态，其次要在抓好始状态下的数理关系上下功夫，从中挖掘并找到规律.1.探究条件探求条件型问题是指问题中结论明确，而需要完备使结论成立的条件的一类题目.解答探求条件型问题的思路是，从所给结论出发，谖想出合乎要求的一些条件，逐一列出，并进行逻辑证明，从而寻找出满
11、足结论的条件.例4如图27-3,四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E,F是对角线AC上的点.(1)若,则厶DEC^/BFA(]^你填上能使结论成立的一个条件)；(1)证明你的结论.解()AE=CF；(OE=OF；DE丄AC,BF丄AC；等等)(2)以AE=CF为例.・・•四边形ABCD是矩形，・・.4B=CD,AB//CD,ZDCE=ZBAF.又'：AE=CF・:.AC-AE=AC~CF.:.AF=CEf:./DEC竺ZXBAF.说明这是一道探索条件、补充条件的开放型试题，解决这类问题的一般方法是：从结论出发，执果寻因，逆向推理，探寻出使结论成
12、立的条件；有时也采取把可能产住结论的条件一一列出，逐个分析考察.例5在平面直角坐标系中，等腰三
