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1、第一节一元线性回归分析预测法一、概念（思路）根据预测变量（因变量）Y和影响因素（自变量）X的历史统计数据，建立一元线性回归方程y=a-]-bx9然后代入X的预测值,求出y的预测值的方法。基本公式：y=a+bx其中：a、b为回归系数，是未知参数。基本思路：1、利用X,Y的历史统计数据，求出合理的回归系数：b,确定出冋归方程2、根据预计的自变量x的取值，求出因变量y的预测值。二、一元线性回归方程的建立1、使用散点图定性判断变量间是否存在线性关系例：某地区民航运输总周转量和该地区社会总产值由密切相关关系
2、。年份总周转量（亿吨公里）Y社会总产值（百亿元）X112.530214.536314.738415.141515.548616.852717.553818.253.5918.855某地区民航运输总周转量和社会总产值关系图2、使用最小二乘法确定回归系数使实际值与理论值误差平方和最小的参数取值。对应于自变量Xi，预测值（理论值）为b+m*Xi，实际值y”minE（yi-b-mXi）2,求a、b的值。使用微积分中求极值的方法，得：由下列方程代表的直线的最小二乘拟合直线的参数公式:y=mx+b工X：-（工
3、兀）2m=n/b=y-nix其中m代表斜率，b代表截距。一元线性冋！Hxls三、回归方程的显著性检验判断X、Y之间是否确有线性关系，判定回归方程是否有意义。有两类检验方法：相关系数检验法和方差分析法1、相关系数检验法构造统计量r厂二工a_元）0厂刃-元）2•工（升一刃2二S®JSxx•'yy_〃工兀％—工兀•工X—-（2＞「）2][〃工久2_（工开）2]相关系数的取值范围为：卜1,1],Irl的大小反映了两个变量间线性关系的密切程度，利用它可以判断两个变量间的关系是否可以用直线方程表示。I•值两
4、变量之间的关系r=l完全正相关l>r>0正相关，越接近1,相关性越强。越接近0,相关性越弱r=0不线性相关0>r>-1负相关，越接近-1,相关性越强；越接近0,相关性越弱r=-l完全负相关两个变量是否存在线性相关关系的定量判断规则：对于给定的置信水平a,从相关系数临界值表中查出r临(n-2),把其与用样本计算出来的统计量r0比较：若lr°l〉r临(n-2)成立，则认为X、Y之间存在线性关系，回归方程在a水平上显著。差异越大，线性关系越好。反之则认为不显著，回归方程无意义，变量间不存在线性关系。其中
5、：n为样本数。2、方差分析法：方差分析的基本特点是把因变量的总变动平方和分为两部分，一部分反映因变量的实际值与用回归方程计算出的理论值之差，一部分反映理论值与实际值的平均值之差。Y的总变差=丫的残余变差+Y的说明变差，SST=SSE+SSR或：总离差平方和=剩余平方和+回归平方和工()「刃2=工()「汀+工(记-汀工(X-刃2"个数据和其平均值的傅程度，记为九，工(X-为F——除了X以外其它因素刘^的影响造成的，残余躍、不可解释变差，宓Q工仇-刃2——由于X对Y的影响造成的，说明猪、可解释变差，记
6、加syy=Q+u回归平方和U与剩余平方和Q相比越大，说明回归效果越好。注：在方差分析中，已被解释的和未被解释的变差除以相应的自由度的个数即变为方差。Y的方差是Y的总偏差平方和除以n-l,被解释的方差等于被解释的变差(因为回归只比估计Y的均值多用一个约束条件)，残余方差等于残差偏差平方和除以n-2,残差的方差S?是误差方差的无偏且一致的估计(S叫做回归标准差)S2=Q/(n-m)定量判断回归有效性有两种方法：(1)可决系数检验法拟合优度统计量；判定系数：r2=SSR/SST=U/Syy调整的r2=l
7、-[Q/(n-m)]/[Syy/(n-l)]复相关系数检验法：构造统计量R=SQRT[l-Q/Syy]=SQRT(U/Syy)判断规则：对于给定的置信度a,从相关系数r分布表中查出r临(n-m),把其与用样本计算出来的统计量Ro比较：若R()〉5(n-m)成立，则认为回归方程在。水平上显著。反之则认为不显著，回归方程无意义，变量间不存在线性关系。(2)F检验法：构造统计量F=(U/m-1)/[Q/(n-m)]其中：m为变量个数(总数)；n为样本数。统计量F服从第一自由度为m-l＞第二自由度为n-m
8、的F(m-1,n-m)分布。F=r2/(1-r2)*(n-m)/(m-l)判断规则：对于给定的置信度a,从F分布表中查出Fa(m-1,n-m),把其与用样本计算出来的统计量F0比较：若F()〉Fa(m-1,n-m)成立，则认为回归方程在a水平上显著。反之则认为不显著，回归方程无意义，变量间不存在线性关四、回归方程没有通过检验的原因1、定性分析选择的各变量间，本来不存在因果关系。定性分析设想不准确。2、选择的变量间存在因果关系，但还存在其它起着更重要作用的变量尚未列入模型之中。3、选
