相似形的综合运用

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1、7-4相似形的综合运用(一)知识考点：会综合运用相似三角形的冇关概念、定理解答冇关问题。另外，冑角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似的性质运用，是近儿年中考的热点题型。精典例题：【例1】如图，已知，在边长为1的正方形ABCD的-•边上取一点E,使AE=-AD,从AB的中点4F作HF丄EC于H。(1)求证：FH=FA；(2)求EH：HC的值。证明：(1)连结EF,FC,在正方形ABCD中，AD=AB=BC,ZA=ZB=90°••占严异为AB的中点,AE_FBAAEAF^AFBC,azaef=zbfc,zefa=zcfbAZEFC=90°,又TZEFC=ZB=

2、90°•••△EFCs&BC•••ZHEF=ZBFC,ZECF=ZBCFAZAEF=ZHEF,ZAFE=ZHFEAAEAF^AHEFAFH=FAEF1（2）由（1）得——=-,由（1）易证△EHF^AEFC,从而可得FC2EF2=EH•EC，同理FC?=CHCE,于是EH:hc=EF2:FC2=1:4变式：如图，在矩形ABCD中，—，点E在BC±，点F在CDBC6上，且EC=-BC,FC=-CD,FG丄AE于G,。求证：AG=4GE。65（提示：证厶ECF<^AFDA得EF:AF=1:2,再证AEPGsAEAF^AFAG即可）【例2】已知，在厶ABC屮，ZACB=9()°,

3、过C作CD丄AB于D,AD=加，BD=〃，AC2:BC，=2:1,又关于x的方程-x2-2(n-l)x+m2-12=0的两实数根的差的平方小于192,求整数加、4〃的值。分析：如图，易证△ABC^AADC,AC2:BC2=ad:bd=m:n=2:1,即m=2n,再由方程两根差的平方小于192可得〃〉丄，又山判别式△$()知nW22:.—AE)o(1)AAEF与AEFC是否相似

4、，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由。(2)设一=£,是否存在这样的£值，使得AAEF与ABFC相似，若存在，证明你的结论并求出BCR的值；若不存在，说明理由。解：(1)相似,如图证明：延长FE与CD的延长线交于点G。在RtAAEF与RtADEG中VE是AD的中点・・・AE=ED,ZAEF=ZDEG,ZA=ZEDGAAAFE^ADGE・・・E为FG的中点。乂CE丄FG,・・・FC=GCAZCFE=ZGoAZAFE=ZEFC,XAAEF与△EFC均为直角三角形•••△AEFs/XEFC。(2)①存在。如果ZBCF=ZAEF,即k=—=时，AAEFsABCF。一BC2证

5、明：当：1£=逅时，^-=羽。・・・ZECG=30°。・・・ZECG=ZECF=ZAEF=30°,・ZBCFBC2DE=90°—60°=3()°。乂△人已尸和厶BCF均为直角三角形。AAAEF^ABCFo②因为EF不平行于BC,・•・ZBCFHZAFE。・•・不存在第二种相似情况。跟踪训练：一、填空题：1、在RtAABC中，ZBAC=90°,AD丄BC于D,AB=2,DB=1,贝'JDC=,AD=。2、在厶ABC'P，AB=12,AC=15,D为AB上一点，BD=^AB,在AC上取一点E,得厶ADE,当3AE的长为时，图屮的两个三角形相似。3、在RtAABC中，AD为斜边

6、上的高，S,则AB:BC=。二、选择题：在AABC中，ZA：ZB：ZC=1：2：3,CD丄AB于D,AB=d,贝ljDB=()aaa3aA、一—C>—D、4324三、解答题：1、如图，在ZABC中，ZACB=90(),CD丄AB于D,为了求岀AC,在图中你能找出哪些适当的条件？笫1题图EF丄ab于Fo求证：AC2=AD•AF+CD•EF。2、如图，CD是RtAABC的斜边AB±的高，E是BC±任意一点,笫2题图3、如图.在RtAABC中，CD是斜边AB±的高，点M在CD上，DH丄BM且与AC的延长线交于点Eo求证：(1)AAED^ACBM；(2)AECM=ACCD第3题图

7、4、已知，如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AD平分ZCAB交BC于点D,过点C竹：CE丄AD,垂足为E,CE的延长线交AB于点F,过点E作EG〃BC交AB于点G,AE-AD=16,AB=4頁,求EG的长。7-5相似形的综合运用(二)知识考点：本节知识包括•综合运用三角形相似的性质与判定定理，这是中考的必考内容，另外，以相似三角形为背景的综合题是常见的热点题型。精典例题：【例1】如图已知，AABCAB=5,BC=3,AC=4,PQ〃AB,P点在AC±(与点A、C不重合)，Q点在BC上。（1）当厶卩©。的面积