[精品]浅谈多元函数的最值问题

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1、浅谈多元函数的最值问题浅谈多元函数的最值问题多元函数，特别是形如沪f(x,y)的二元函数的最值问题是近年来高考和数学竞赛的一个难点，多元函数的最值涉及到函数、不等式、线性规划等诸多重耍的知识点，同时还体现了函数与方程，转化与化归，数形结合等核心数学思想，因此成为探索的热点•本文通过典型题例对解决多元函数的方法进行了一定的探究和归纳.一、消元法消元是处理多元问题常用的，最有效的数学技巧之一，常常能将多元函数问题转化为我们熟悉的一元函数，方程或不等式问题来处理，可以起到化繁为简的作用•常可以通过代入消元

2、法、整体消元法、不等式的放缩、三角换元等方法来达到消元的目的.例1(2011年浙江(理))设x,y为实数，若4x2+y2+xy二1,则2x+y的最大值是.分析：通过将所求问题整体换元，代入消元转化为一元二次方程，利用方程的思想求解最值问题，解题略.例2已知x,y,zWR,且x+y+z二1,x2+y2+z2二3,则xyz的最大值是.分析：本题中含有三个字母，必须进行有效的转化，本题的核心是如何尽可能消元，减少变量，化为一元问题，解答略.例3已知x2+y2-xy=l,求x2-y2的最大值与最小值.分析：

3、本题不同于例h例2,利用代入消元和不等式的放缩都很难达到消元的目的，我们可以考虑通过三角换元，利用参数方程来达到降低维数消兀的II的.解：设z=x2~y2,令x=Pcosty=Psint(tWR,p20),则z=P2cos2t①x2+y2-xy二1转化为P2(1-0.5sin2t)=1②将①除以②可得：z=cos2t1-0.5sin2t,利用三角有界法可求得：[-23/3,23/3].点评：在求解最值问题时，特别是涉及圆和圆锥曲线的问题，我们经常考虑运用参数方程来达到降维的0的.二、确定主元法，将问

4、题转化为一元函数求最值例4设F(x,y)=(x+y)2+(x-2y~l)2,x,yWR且yHO,求F(x,y)的最小值.分析：对于二元函数可以考虑降维的思想，可以通过确定主元，树立主元意识，先将其中某一个元作为变量，其余元都作为常数，化归为常见一元函数求最值.解：设F(x,y)=(x+y)2+(x-2yT)2二2x2+2(y-2yT)x+y2+l+4y+4y2,则关于x的函数：g(x)二2x2+2(y-2y-l)x+y2+l+4y+4y2二2[x+(y2-ly-12)]2+12(y+2y+l)2,则

5、g(x)min=12(y+2y+l)2,利用基木不等式可求得：F(x,y)min二9-422.三、基本不等式法例5(2013年山东(理))设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z二0,则当xyz取得最大值吋，2x+ly-2z的最大值为.分析：利用基本不等式通常是解决多元函数最值的重要工具，通过不等式进行有效的放缩达到求最值的目的.解：因为x2-3xy+4y2-z=0,所以z二x2-3xy+4y2,因为x,y,z都是正实数，所以xyz二xyx2-3xy+4y2Wxy4xy-3xy=l,当冃仅当x

6、二2y吋，(xyz)max=l・则z二x2-3xy+4y2二2y2,所以2x+ly-2z二22y+ly-22y2二-(ly-1)2+1W1,当且仅当y=l,x二2,z二2时，(2x+ly-2z)max二1・四、数形结合法求解多元函数最值吋，常结合题目中的条件和目标函数的形式所对应的几何意义，将“数”化归为“形”，这是解决多元函数最值的乂一利器.例6(2013年盐城二模)若实数a,b,c,d满足a2-21nab二3c-4d二1,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为.分析：通过对所求问题的结构分析，让

7、我们联想到A(a,b),B(c,d)两点Z间的距离的平方，关键是要构造出两个曲线，将问题转化为两曲线间动点之间的关系，在图形中寻找出更有效的解决方法.解:因为a2-21nab二3c-4d二1,所以b=a2-21na.,d二3c-4,可看为y二x2-21nx上的一点任意一点A(x0,x2-21nx0)到直线y二3x-4上的距离的最小值的平方.yf=2x0~2x0=3,因为x0>0,所以x0=2,所以A(2,4-2ln2).所以过A到直线y二3x-4的距离即为A(a,b),B(c,d)Z间距离的最小值，

8、即为(2-21n2)/10,但是所求为距离的平方，所以[(a-c)2+(b~d)2]min=2(l-ln2)2/5.点评：通过目标函数的儿何意义，将数与形的结合，问题可转化为距离、斜率、线性规划等方面来求解，这种转化的过程通常比较省时省力，可以提高我们解题的水平和能力•例4也可通过数形结合的方法求解.五、柯西不等式法柯西不等式通常是解决多元之间的不等关系,它的出现使得多元函数的最值问题又多了一条便捷有效的途径.例7(2013年湖南(理))已知a,b,ceR,a+2b+