[精品]浅谈幂级数的敛散性与函数的幂级数展开

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1、浅谈幕级数的敛散性与函数的幕级数展开浅谈幕级数的敛散性与函数的幕级数展开摘要：幕级数是数学分析当中重要概念之一，在数学中，幕级数是一类形式简单而应用广泛的函数级数，变量可以是一个或多个.幕级数被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域.本文就幕级数的收敛半径、收敛区间、收敛域、马克劳林级数等内容进行浅析.关键词：幕级数敛散性收敛半径收敛区间收敛域马克劳林级数中图分类号：0173文献标识码：A文章编号：1673-9795(2014)02(b)-0000-001幕级数的概念1.1幕级数形如或的级数称为幕级数，其中常数叫做幕级数的系数.1.2收敛半径与收敛区间

2、[1]如果幕级数不是仅在x二0—点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个完全确定的正数R存在，它具有下列性质：当时，幕级数绝对收敛；当时，幕级数发散；当x二R与X二-R时，幕级数可能收敛也可能发散.正数R通常叫做幕级数的收敛半径.市幕级数在处的收敛性决定它在区间、或上收敛，这区间叫做幕级数的收敛域，而开区间(-R,R)称为幕级数的收敛区间.如果仅在X二0收敛，就规定R二0,如果对一切X都收敛，则规定R二.1.3收敛半径的求法(1)对于不缺项的幕级数定理设幕级数的系数有则①当0〈〈时，有R二②当二0时，定义R二③当时,定义R二0(2)对于缺项的幕级数，例如令，

3、，考察二则当〈1时，级数收敛，此时可得知①当时,R二.②当时，R=・③当时，定义R二0.2将初等函数展开为幕级数如果f(x)在点的某邻域内具有各有阶导数、、・・・，…，这时称幕级数为函数f(x)在x=处展开的泰勒级数.特别地，取得幕级数称为函数的马克劳林级数。常用的马克劳林级数有：1.2.Sinx=3.Cosx=4.Ln(l+x)=5.3间接展开法利用幕级数的基本性质与几个常用的标准展开式，将初等函数展开为幕级数的方法，称为间接展开法.4幕级数的基木性质(1)幕级数的和函数s(X)在其收敛区间(-R,R)内为连续函数.(2)幕级数在其收敛区间(-R,R)内可以逐

4、项积分，即=且逐项积分后所得到的幕级数的收敛半径也是R.(3)幕级数在其收敛区间(-R,R)内可以逐项求导，即(注意下标的变化)且逐项求导后所得的幕级数的收敛半径仍为R.说明如果逐项积分或逐项微分后的幕级数在x二R(或-R)处收敛，则性质2,3在x二R(或-R)处仍成立.(4)若的收敛区间为()，的收敛区间为()，贝U且的收敛区间为(-R,R),其中R二min典型例题分析[2]4.1选择题(1)幕级数的收敛区间为()A.(-1,1)B.C.D.分析:因为所以且当x二-1吋，发散.当x二1吋，收敛，故收敛区间为答：C(2)设幕级数在x二2处收敛，则该幕级数在x二-

5、1处必定()A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性不能确定分析：由于幕级数在其收敛区间(-R,R)内绝对收敛，在时发散•可知，当幕级数在x=2处收敛时，必有・因此在(-2,2)内必定绝对收敛，由于x二-1(-2,2),因此可知在x=T处必定绝对收敛，故应选C.答：C(3)下列幕级数中，收敛半径为R二1的是()A.B.C.D.分析：ABCD可见B为正确答案答：B4.2填空题(1)幕级数的收敛域为分析：当，即0〈x〈2吋，幕级数收敛.乂当x二0时，二发散.而当x二2吋，二收敛.故收敛域为答:(2)关于的幕级数展开式为(-2

6、(-2

7、得，，在处的展开式为Sinx二参考文献[1]高霞•高等数学[M]•南开大学出版社，2010.[2]叶止道•高等数学[M]•中国社会出版社，2005.作者简介：马晓东(1964、5)女。汉。辽宁省铁岭市人。铁岭卫生职业学院。公共基础部主任。职称：副教授，理学学士，主要从事数学专业教学。李淑娟(1987、11)汉，女，辽宁省北票市人，大连大学信息工程学院，应用数学专业，研究生。