（教育精品）1.2二次函数的图象与性质（1）

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1、二次函数y=ax^2+bx+c的图象与性质典型例题例1已知二次函数，当x＝4时有最小值-3，且它的图象与x轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式.例2如果以y轴为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么代数式b+c-a与零的关系是（）A．b+c-a=0；          B．b+c-a＞0；C．b+c-a＜0；          D．不能确定.例3二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象大致是（）例4如果抛物线y=-x2+2(m-1)x+m+1与x轴交于A、B两点，且A点在x轴的正半轴上，B点在x

2、轴的负半轴上，OA的长是a，OB的长是b.(1)求m的取值范围；(2)若a∶b=3∶1，求m的值，并写出此时抛物线的解析式；(3)设(2)中的抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点是M，问：抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于△BCM面积的8倍？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.例5已知二次函数的图象与x轴相交于点，顶点B的纵坐标是－3.（1）求此二次函数的解析式；（2）若一次函数的图象与x的轴相交于，且经过此二次函数的图象的顶点B，当时，（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）求（O为坐标原点）面积的最小值与最大值.参考答案例1分析：因为二次

3、函数当x=4时有最小值-3，所以顶点坐标为(4，-3)，对称轴为x=4，抛物线开口向上．图象与x轴交点的横坐标为1，即抛物线过(1，0)点．又根据对称性，图象与x轴另一个交点的坐标为(7，0)有下面的草图：解：此题可用以下四种方法求出解析式.　　方法一：因为抛物线的对称轴是x＝4，抛物线与ｘ轴的一个交点为（1，0），由对称性可知另一点为（7，0），同例1，抛物线y=ax2＋bx＋c通过(4，-3)、(1，0)、(7，0)三点，由此列出一个含a、b、c的三元一次方程组，可解出a、b、c来.　　方法二：由于二次函数当x=4时有最小值-3，又抛物线

4、通过(1，0)点，所以　　　　由上面的方程组解出a、b、c.　　方法三：由于抛物线的顶点坐标已知，可以设二次函数式为y=a(x+h)2+k，其中h=-4，k=-3即有y=a(x-4)2-3，式中只有一个待定系数a，再利用抛物线通过(1，0)或通过（7，0）求出a来.即得出.所求二次函数解析式为　　方法四：由于抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1=1，x2=7．可以采用双根式y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1=1，x2=7即有y=a(x-1)(x-7)式中只有待定系数a，再把顶点(4,-3)代入上式得:所求二次函数解析式为.例2解：从

5、图13-25上看出抛物线开口向下，所以a＜0．当x=0时，y的值为正，所以c＞0．又因为抛物线以y轴为对称轴，所以b=0.综上分析知b+c-a＞0，应选B.注意：这个题考察了二次函数中三个系数a、b、c的含义，二次项系数a决定抛物线开口方向，c为抛物线在y轴上的截距即抛物线与y轴交点的纵坐标，抛物线的对称轴方程为，要根据图象具体分析才能得出正确结论.例3解：图象大致是D.分析：这一类题是考察数学逻辑推理能力．题目中a，b，c均是变量，字母多不知从何下手考虑．考虑问题应该是有层次的，首先抓住两个函数共性的东西，如两个图象的交点中有一个是(0，c

6、)，也就是说两个图象的交点中有一个应在y轴上，从而否定了A．和B．，且c＞0．其次考虑完字母c后，再考虑a的取值．若a＞0，则直线y=ax+c与x轴交点应在原点左边，这样否定了C．；再检验D．，从二次函数图象知a＜0，且c＞0，直线y=ax+c与x轴交点应在原点右边，所以D．是正确的．考虑变量的取值范围要先考虑第一个再考虑第二个、第三个有次序地进行，切忌无头绪地乱猜，思维混乱.例4解：(1)设A、B两点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)．因为A、B两点在原点的两侧，所以x1·x2＜0，即-(m+1)＜0.当m＞-1时，Δ＞0，所以m的取值

7、范围是m＞-1.(2)因为a∶b=3∶1，设a=3k，b=k(k＞0)，则x1=3k，x2=-k，所以所以m=2.所以抛物线的解析式是y=-x2+2x+3.(3)易求抛物线y=-x2+2x+3与x轴的两个交点坐标是A(3，0)，B(-1，0)；抛物线与y轴交点坐标是C(0，3)；顶点坐标是M(1，4)．设直线BM的解析式为y=px+q，所以直线BM的解析式是y=2x+2．设直线BM与y轴交于N，则N点坐标是(0，2)．所以设P点坐标是(x，y)，因为S△ABP=8S△BCM．所以所以｜y｜=4，由此得y=±4.当y=4时，P点与M点重合，即P

8、(1，4)；所以满足条件的P点存在.注意：这一类题是探索性的，需要独立思考，前两问是为第三问作铺垫的，都是常规的思路不太难．第三问是假设条件成立可导出什么结果，在求