康托尔集合论

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1、康托尔集合论集合论是19世纪70-80年代由德国数学家康托尔创立，它建立在一种无限观——“实无限”的基础上。所谓“实无限”，即把“无限”作为一个已经完成了的观念实体来看待。例如，在集合论中用N={n：n是自然数}表示全体自然数的集合就是如此。需要指出的是，在此之前的几千年数学发展史中，占主导地位的是另一种无限观，即古希腊哲学家亚里士多德所主张的“潜无限”观念。所谓“潜无限”，是把“无限”作为一个不断发展着的、又永远无法完成的过程来看待。例如，把自然数看成一个不断延伸的无穷无尽的序列1，2，3，…，n，…就是如此。 集

2、合论是数学观念和数学方法上的一次革命性变革，由于它在解释旧的数学理论和发展新的数学理论方面都极为方便，因而逐渐为许多数学家所接受。实数理论奠定在集合论的基础上，而且各种复杂的数学概念都可以用“集合”概念定义出来，而各种数学理论又都可以“嵌入”集合论之内。因此，集合论就成了全部数学的基础，而且有力地促进了各个数学分支的发展。现代数学几乎所有的分支都会用到集合这个概念。康托尔集，格奥尔格·康托尔在1883年引入，是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质。通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓

3、扑学的基础。虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合，但是最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法——一个无处稠密的完备集的例子。康托尔集是由不断去掉线段的中间三分之一而得出。将基本区间用分点，与三等分，并除去中间的开区间（，）。把余下的两个闭区间各三等分，并除去中间的开区间（，），（，）。然后再将余下的四个闭区间同法处理，如此等等。这样便得到康托尔三分集与开集=（，）∪（，）∪（，）∪（，）∪（，）∪（，）∪（，）∪…是的

4、补集。康托尔集就是由所有过程中没有被去掉的区间[0,1]中的点组成。康托尔三分集的性质及证明（1）是一个闭集，不含有任何区间。这是显然的，是任意个开集的并，所以仍是开集，是的补集，所以是闭集。这表明不含有任何区间的闭集是存在的。（2）是完全集证明：要证是完全集即证它不含有孤立点。假设有一孤立点，则存在（α，β）使（α，β）中不含中除以外的任一点。所以（α，），（，β）。于是将成为的某两个区间的公共端点，但由于的做法是不可能的。所以不存在这样的点，与假设矛盾，所以得证是完全集。（3）是不可列的证明：假设是可列的，将中点

5、编号成点列，，…，…，也就是说，中任一点必在上述点列中出现。显然，与中应有一个不含有，用表示这个闭区间。将三等分后所得的左与右两个闭区间中，应有一个不含，用表示它。然后用表示三等分时不含的左或右的那个闭区间，如此等等。这样，根据归纳法，得到一个闭区间列。由所述取法知，……，，kN，同时，易见的长为0（k）。于是根据数学分析中区间套定理，存在点，kN。可是是等的端点集的聚点，从而是闭集的聚点，故。由于上面已指出，kN，故，kN。这是一个矛盾。故不可列。（4）的势等于与同势证明：引进中小数的三进表示来考察区间（，）中每个

6、点x可表示成x=0.1…，其中，，…是0，1，2三个数字中之一。这区间的两个端点均有两种表示，规定采用（不出现数字1）：=0.0222…，=0.2000…，区间（，），（，）中的点x可表示成x=0.01…或x=0.21…，其中，，…是0，1，2中任一数字。而区间端点则采用（不出现数字1）：=0.0022…，=0.2022…，=0.0200…，=0.2200…。如此等等。根据归纳法分析可知，依上述规定，中的点的三进表示中必有一位数字是1，且只有这样的点才属于。因而与集A={0.…：每个{0，2}}成一一对应。且A显然与

7、对等，故A的势为，从而的势为。（5）m=0证明：因为是开集由测度的定义有m=++…++=1m=1-m=1-1=0我们得到是一个测度为零的不可列集。（6）是稀疏集因为=，不能包含R中的任何一个邻域，所以不在R中的任何一个邻域中稠密，故是稀疏集。康托尔三分集因为具有以上特殊的性质，是一个很典型的特例能来说明实变函数中的很多问题，在实变函数中占有很重要的地位。