抛物线讲义(备课)

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1、抛物线的标准方程知识要点：1.定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线。点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。2.标准方程①坐标系：使坐标轴经过点F且垂直于直线l于K，并使原点与线段KF的中点重合。②设

2、KF

3、=p（p>0），则抛物线的标准方程及焦点坐标、准线方程如下表：3.几何性质：以抛物线y2=2px（p>0）为例。（1）范围。x≥0，

4、y

5、随x增大而增大，但无渐近线。（2）对称性。关于x轴对称。（对称轴与准线垂直）（3）顶点。对称轴与抛物线的交点。（4）离心率。同椭圆、双曲线离心率定义。e=

6、1（注e与抛物线开口大小无关，开口大小由p值确定，画特征草图时，先画出通径（2p）过焦点且与对称轴垂直的弦）。第5页共5页4.几个重要的解析结果：（1）平行抛物线对称轴的直线和抛物线只有一个交点。（2）焦点弦两端点的纵坐标乘积为常数即y1y2=－p2（p>0）（3）焦半径公式：（4）焦点弦长公式：

7、AB

8、=x1+x2+p（x1、x2分别为A、B的横坐标），由此可知，通径长为焦点长的最小值：例题：例1在抛物线y2=12x上，求与焦点的距离等于9的点的坐标.例2已知顶点在原点、焦点在坐标轴上的抛物线被直线l:y=2x+1截得的弦长为，

9、求抛物线方程：例3如果抛物线y2=px和圆(x-2)2+y2=3相交，它们在x轴上方的交点为A、B，那么当p为何值时，线段AB的中点M在直线y=x上?例4过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F，引两条相互垂直的弦AC、BD，求四边形ABCD面积的最小值.例5直线l1和l2相交于M，l1⊥l2，点N∈l1，以A，B为端点的曲线段C上任一点到l2的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，｜AM｜=，｜AN｜=3，且｜BN｜=6，建立适当坐标系，求曲线段C的方程.第5页共5页例6已知抛物线y2=2px(p＞0).过动点M(a,0

10、)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，｜AB｜≤2p.(Ⅰ)求a的取值范围.(Ⅱ)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求Rt△NAB面积的最大值.习题练习：A级一、选择题1.抛物线y=-x2的准线方程是()A.x=B.x=C.y=2D.y=42.直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k等于()A.0B.1C.2D.33.直线和抛物线有且仅有一个公共点是直线和抛物线相切的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若点P到点F(4,0)的距离比它到

11、定直线x+5=0的距离小1，则P点的轨迹方程是()A.y2=-16xB.y2=-32xC.y2=16xD.y2=32x5.抛物线y2=2px上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线距离是()A.4B.8C.16D.32二、填空题6.抛物线y2=8x关于直线y=x对称的曲线方程是.7.抛物线y=4x2上到直线y=4x-5的距离最近的点的坐标是.8.P(x1,y1),P2(x2,y2)是过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点的弦的两端，则y1y2=.三、解答题9.已知抛物线y=ax2-1上恒有关于直线x+y=0对称的相异两点，求

12、a的取值范围.10.已知A、B是抛物线y2=2px(p＞0)上的两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)，求证：(1)A、B两点的横坐标之积为定值；(2)直线AB经过定点.AA级第5页共5页一、选择题1.已知P(x0,y0)是抛物线y2=2mx上的任意一点，则点P到焦点的距离是()A.｜x0-｜B.｜x0+｜C.｜x0-m｜D.｜x0+m｜2.过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B两点在抛物线的准线上的射影是A1、B1，则∠A1FB1等于()A.45°B.60°C.90°D.°1203.过抛物线y2=4x的焦点F作直线，

13、交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，若x1+x2=6，则｜AB｜等于()A.4B.6C.8D.104.动点P在曲线y=2x2+1上移动，则点P和定点A(0，-1)连线的中点的轨迹方程是()A.y=2x2B.y=4x2C.y=6x2D.y=8x25.F是抛物线y2=2x的焦点，P是抛物线上任一点，A(3，1)是定点，则｜PF｜+｜PA｜的最小值是()A.2B.C.3D.二、填空题6.若(4，m)是抛物线y2=2px上的一点，F是抛物线的焦点，且｜PF｜=5,则抛物线的方程是.7.抛物线y2=2x上的两点A、B到焦点F的

14、距离之和是5，则线段AB的中点M的横坐标是.8.若抛物线y2-mx-2y+4m+1=0的准线与双曲线-=1的右准线重合，则m的值是.三、解答题9.已知椭圆+y2=1的焦点为F1、F2，抛物线y2=px(p＞0)与椭圆在第一象限的交点为Q，若∠F1Q