知识讲解-不等关系-基础

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1、不等关系与不等式【学习目标】1.了解不等式（组）的实际背景，会用不等式表示不等关系；2.了解实数运算的性质与大小顺序之间的关系，学会比较两实数的大小的方法；3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.【要点梳理】要点一：符号法则与两实数大小的比较L实数的符号：任意xeR,则x>0（x为正数）、x=0^x<0（x为负数）三种情况有且只有一种成立.2.两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：%1两个同号实数相加，和的符号不变符号i吾言：a>0,Z?>0=>«+/?>0；a<0,b<0=

2、>a+b<0%1两个同号实数相乘，积是正数符号语言：a>0,Z?>0=>>0；a<0,Z»<0=>ab>0%1两个异号实数相乘，积是负数符号语言：a>0,Z?<0=>ab<0%1任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：XG/?=>X2>0,x=0<=>x2=0.3.实数的运算性质与大小顺序之间的关系要确定任意两个实数的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系即可：对任意两个实数d、b:®a-b>0<=>w>Z?；@a-b<0<^>aa=b.要点诠释：等价符号的左边反映的

3、是实数的运算性质，右边反映的是实数的大小顺序，它是不等式这一章的理论的基础，是不等式性质的证明，也是解不等式的重要依据.要点二：不等关系在现实世界和日常生活屮，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.在数学意义上，不等关系可以体现.常量与常量之间的不等关系•例如：“神舟五号”的质量大于“东方红一号”的质量；变量与变量之间的不等关系.例如：身高不足工2加的儿童可免费乘坐公交车；函数与函数直接的不等关系.例如：当x>d时，销售收入/"）大于销售成本g（x）；一组变量之间的不等关系•例如：购置软件的费用60

4、兀与购置磁盘的费用70），之和不超过500元.常见文字语言与符号语言之间的转换文字语言大于，高于，超过小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至少，不多于，不超过符号语言><2W要点诠释：(1)不等关系反映在日常生活中的方方fflffl,在数学上，常常用不等式(组)表示不等关系；(2)不等式a>b或方：表示严格的不等式；(3)不等式a^b读作“a大于或等于b”，其含义是a>b和。二方中至少有一个正确,等价于“a不小于“”•例如不等式322,222都是正确的.同理"aWb”表示a

5、至少有一个正确.要点三：不等式1•定义不等式：用不等号(>,<,W,H)表示不等关系的式子.2.同向与异向不等式同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如a>b,c>d与ab,cb<=>bb,b>c=>a>c；(3)加法法则(同向不等式可加性)：ci>b<=>a+c>b+c(ceR)；*c>0

6、=>ac>be,(4)乘法法则：若a>b,贝lj-c=()=>ac=be,c<0^>ac0=>—>—9(5)除法法则：若a>b.且c=0,贝I」cccabc<0=>—<-.cc运算性质有：(1)可加法则：a>b,c>d=>ci+c>b+d；(2)可乘法则：a>b>O,c>d>0^>a-c>bd>0；(1)可乘方性：t7>Z7>0(neN+)=>^>^>0；要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.要点四：比较两代数式大小的方法作差法：1.任意两个代数式0、b,可以作差a-b后比

7、较a-b与0的关系，进一步比较d与方的大小.®a-b>O<=>a>h；@a-h<0<=>aa=b.作商法：任意两个值为正的代数式G、b,可以作商G一方后比较邑与1的关系，进一步比较d与方的大小.b®—><=>a>bxb®—<1<=>ab且b>c.则“>c.第三个量就是中间量.这种方法就是中间量法，其实质是

8、不等式的传递性.一般选择0或1为中间量.利用函数的单调性比较大小若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小.作差比较法的步骤：第一步：作差；第二步：变形，常釆用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化为“积”；第三步：定号，就是确定差是大于、等于还是小于0；最后下结论.要点诠释：概括为：“三步一结论”.这里“定号”是目的，“变形”是关键过程.【典型例题】类型一：用不等式表示不等关系例1.某人有楼房一幢，室内面积共180m2,拟分割成大、小两类