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1、第五节条件概率全概率公式贝叶斯公式小结布置作业有三个箱子,分别编号为1,2,3.1号箱装有1个红球4个白球,2号箱装有2红3白球,3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球的概率.解记Ai={球取自i号箱},i=1,2,3;B={取得红球}B发生总是伴随着A1，A2，A3之一同时发生，123其中A1、A2、A3两两互斥看一个例子:三、全概率公式将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式.对求和中的每一项运用乘法公式得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)代入数据计算得：P(B)=8/15运用加法
2、公式得到即B=BS=B(A1+A2+A3)=A1B+A2B+A3B，且A1B、A2B、A3B两两互斥一个事件发生.某一事件A的发生有各种可能的原因，如果A是由原因Bi(i=1,2,…,n)所引起，则A发生的概率是每一原因都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式.P(ABi)=P(Bi)P(A
3、Bi)全概率公式.我们还可以从另一个角度去理解由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.全概率公式表达了它们之间的关系.B1B2B3B4B5B6
4、B7B8A诸Bi是原因A是结果例甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.设A={飞机被击落}Bi={飞机被i人击中},i=0,1,2,3由全概率公式则A=AS=A(B0+B1+B2+B3)=B1A+B2A+B3A解依题意，P(A
5、B1)=0.2,P(A
6、B2)=0.6,P(A
7、B3)=1P(A)=P(B1)P(A
8、B1)+P(B2)P(A
9、B2)+P(B3)P(A
10、B3)可求得为求P(Bi),设Hi={飞机
11、被第i人击中},i=1,2,3将数据代入计算得P(B1)=0.36;P(B2)=0.41;P(B3)=0.14.P(A)=P(B1)P(A
12、B1)+P(B2)P(A
13、B2)+P(B3)P(A
14、B3)=0.458=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1即飞机被击落的概率为0.458.于是该球取自哪号箱的可能性最大?这一类问题是“已知结果求原因”.在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能性大小.某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.1231红4白或者问:四、贝叶斯公式看一个例子:接下来我
15、们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.1231红4白?某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率.记Ai={球取自i号箱},i=1,2,3;B={取得红球}求P(A1
16、B)运用全概率公式计算P(B)=P(BS)=P[B(A1+A2+A3)]=P[BA1+BA2+BA3]将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式1231红4白?该公式于1763年由贝叶斯(Baye
17、s)给出.它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.贝叶斯公式在实际中有很多应用.它可以帮助人们确定某结果（事件B）发生的最可能原因.例某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?则表示“抽查的人不患癌症”.已知P(C)=0.005,P()=0.995,P(A
18、C)=0.95,P(A
19、)=0.04求解如下:设C={抽查的人患有癌症}，A={试验结果是阳性}，求P(C
20、A).现在来分析一下结果的意义.由
21、贝叶斯公式，可得代入数据计算得P(C｜A)=0.10662.检出阳性是否一定患有癌症?1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍.1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.P(C｜A)=0.1066P(C)=0.005试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为P(C｜A)=0.10662.即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有10.66%(平均来说，1000个人中大
22、约只有107人确患癌症)，此时医生常要
