概统1.2 概率的定义及计算

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1、§1.2概率的定义及计算§1.2概率定义计算历史上概率的三次定义③公理化定义②统计定义①古典定义概率的最初定义基于频率的定义1933年由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出39设在n次试验中，事件A发生了m次，频率则称为事件A发生的频率40频率的性质事件A,B互斥，则可推广到有限个两两互斥事件的和事件非负性归一性可加性稳定性某一定数41概率的统计定义概率的定义在相同条件下重复进行的n次试验中,事件A发生的频率稳定地在某一常数p附近摆动,且随n越大摆动幅度越小,则称p为事件A的概率,记作P(A).对本定义的评价优点：直观易懂

2、缺点：粗糙模糊不便使用42设S是随机试验E的样本空间，若能找到一个法则，使得对于E的每一事件A赋于一个实数，记为P(A),称之为事件A的概率，这种赋值满足下面的三条公理：非负性：归一性：可列可加性：其中为两两互斥事件，由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫(A.H.Колмогоров)1933年建立.概率的公理化定义公理化定义43概率的性质有限可加性:设两两互斥若44对任意两个事件A,B,有BAB=AB+(B–A)P(B)=P(AB)+P(B–AB)B-ABAB45加法公式：对任意两个事件A,B,有推广：46补充例1小王参加

3、“智力大冲浪”游戏,他能答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2,两类问题都能答出的概率为0.1.求小王解事件A,B分别表示“能答出甲,乙类问题”(1)(1)答出甲类而答不出乙类问题的概率(2)至少有一类问题能答出的概率(3)两类问题都答不出的概率(2)(3)例147补充例2设A,B满足P(A)=0.6,P(B)=0.7,在何条件下，P(AB)取得最大(小)值？最大(小)值是多少？解最小值在时取得——最小值——最大值最大值在时取得例248设随机试验E具有下列特点：基本事件的个数有限每个基本事件等可能性发生则称E

4、为古典(等可能)概型古典概型中概率的计算：记则古典（等可能）概型概率的古典定义古典概型49例13一批产品中有3件一等品,4件二等品,5件三等品,从中取出4件,要求一件为一等品,一件为二等品,另两件为三等品,问取一次就能达到要求的概率是多少？(各取所需)例3解：样本空间中有个样本点，有利事件中有个样本点，则50:例3例14设一批产品中有N件产品,其中有D件次品,现分别就下列情形(1)有放回抽样情形,即每次取出一件产品后,观察是否是次品,然后放回,再取一件,一共取n次;(2)不放回抽样情形,即每次取出一件产品后,观察是

5、否是次品,然后从剩下的产品中再取一件,一共取n次.求取到的产品中恰好有k件次品的概率.（二项模型，特点：独立重复，每次只有两个可能的结果。）（超几何模型，特点：不放回取样，若产品数量很大时，超几何模型近似二项模型）51设有n个不同的球,每个球等可能地落入N个盒子中（）,设每个盒子容球数无限,求下列事件的概率:（1）某指定的n个盒子中各有一球；（4）恰有n个盒子中各有一球；（3）某指定的一个盒子没有球；（2）某指定的一个盒子恰有m个球()（5）至少有两个球在同一盒子中；（6）每个盒子至多有一个球.例15（分房模型）例

6、452解设(1)~(6)的各事件分别为则53例15的“分房模型”可应用于很多类似场合“球”可视为人“盒子”相应视为房子信封信钥匙门锁女舞伴生日人男舞伴54例15“分房模型”的应用生物系二年级有n个人，求至少有两人生日相同（设为事件A)的概率.解为n个人的生日均不相同,这相当于本问题中的人可被视为“球”，365天为365只“盒子”若n=64，每个盒子至多有一个球.由例4（6）例555例16袋中有a只白球，b只红球，从袋中按不放回与放回两种方式取球,每次取一只球，求第k次取到红球的概率。例3（抽签原理，特点：有次序，不

7、放回的取，每次取出的结果与第一次取出的结果相同）561o明确所作的试验是等可能概型,有时需设计符合问题要求的随机试验,使其成为等可能概型.3o计算古典概率时须注意应用概率计算的有关公式,将复杂问题简单化.2o同一题的样本空间的基本事件总数随试验设计的不同而不同,如例13不放回试验的两种不同设计.一般越小越好.计算古典概率注意事项57例9某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率9点10点10分钟几何概型(等可能概型的推广)例958几何概型设样本空间为有限区域,若

8、样本点落入内任何区域G中的概率与区域G的测度成正比,则样本点落入G内的概率为59例19闹钟有刻度为,当它停止走动时,其分针落在下列位置的概率.分针落在1和4之间的概率;分针落在11和3之间的概率;分针指向12的概率.例10注：不可能事件的概率为零，概率为零的事件未必是不可能事件.60例20某两人约定在上午9:00-10:00见面,先到者等候另一人20分钟即