2.2离散型随机变量及其分布

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1、第二节离散型随机变量及其分布一、离散型随机变量和概率分布定义3：如果随机变量所有的可能取值为有限个或可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量。定义4：设离散型随机变量X的可能取值为x(k=1,2,k…),事件{Xxk}发生的概率为pk,即P{Xx}pk1,2,...kk称为随机变量X的概率或分布律。上一页下一页返回分布律常用表格形式表示如下：Xxx…x…12kppp…p…k12k概率分布完整地描述了离散型随机变量的统计规律．分布律的两条基本性质：(1)p0k1,2,k(2)pk1k1上一页下一页返回为了直观地表达分

2、布律，我们还可以作概率分布图.P(Xx)k0x1x2x3x4xn1xnx上一页下一页返回设I为实轴上一区间，那么离散型随机变量X落入区间I内的概率为P{XI}pixiIIx1x2x3xnx由此可得离散型随机变量X的分布函数的计算公式。FxP{Xx}pixixF(x)x1x2x3xxnx上一页下一页返回例1一盒中装有编号为1,2,3,4,5的五只球,现从中任意取三只球,求所抽出三只球的中间号码X的概率分布.解X所有可能的取值为2,3,4.当X=k(k=2,3,4)时，另两只球中的一只在小于

3、k的k－１只球中取,还有一只球在大于k的5－k只球中取，所以，11CCk15kP(Xk)k2,3,43C5上一页下一页返回Ｘ２３４Ｐ0.30.40.3例2:设随机变量X的分布律为Ｘ０１２11pa23（１）确定常数a的值;（２）求Ｘ的分布函数上一页下一页返回解：（１）由分布律的性质知1111a因此a236（2）X的分布律为：Ｘ０１２111p236上一页下一页返回由分布函数计算公式易得Ｘ的分布函数为：F(x)0x0110x12Fx51x26-10123x1x2上一页下一页返回已知分布律可以求分

4、布函数。反过来，若已知离散型随机变量X的分布函数F（x），则X的分布律也可由分布函数所确定：P=P{X=x}=F(x)－F(x－0).kkkk上一页下一页返回离散型随机变量X的分布函数是阶梯函数，X的可能值x，x，是Fx的第一类间断点，而12且Fx在x处的跳跃的高度为p。ii已知离散型随机变量X的分布函数，也能确定X的分布律。用分布律和分布函数都能描述离散型随机变量的分布情况。上一页下一页返回二、常用离散型随机变量的分布1.两点分布（Two-pointdistribution)若在一次试验中X只可能取x或x两值(x

5、的概率分布是PXx1p(0p1),1PXxp,2则称X服从两点分布。当规定x=0,x=1时两点分布称为（0－1）分布。12简记为X~(0-1)分布。上一页下一页返回X01p1-ppk两点分布可以作为描述试验只包含两个基本事件的数学模型.2.二项分布(Binomialdistribution)若离散型随机变量X的分布律为kknkPXkCp(1p)k0,1,,n,n其中0

6、表示n次试验中A出现的次数。那么由二项概率公式得X的分布律为：kknkPXkCp(1p)k0,1,,nn即X服从二项分布。当n=1时，二项分布化为：P{X=k}=pk(1-p)1-kk=0,1即为（0－1）分布（0－1）分布可用b(1，p)表示。上一页下一页返回Ckpk(1p)nk恰好是[nP{X=k}=nＰ+(1－Ｐ)]二项展开式中出现pk的那一项，这就是二项分布名称的由来。显然，PXk0,且有nnkknknP{Xk}Cnp(1p)[p(1p)]1k0k0因此，二项分布满足概率分布的性质。

7、二项分布可以作为描述n重贝努里试验中事件A出现次数的数学模型.上一页下一页返回例3某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛.校队的实力较系队为强，当一个校队运动员与一个系队运动员比赛时，校队运动员获胜的概率为0.6.现在校、系双方商量对抗赛的方式，提了三种方案：（1）双方各出3人；（2）双方各出5人；（3）双方各出7人.三种方案中均以比赛中得胜人数多的一方为胜利.问：对系队来说，哪一种方案有利？上一页下一页返回解设系队得胜人数为X，则在上述三种方案中，系队胜利的概率为3kk3k（1）P{X≥2}=C3(0.4)(0.6)≈0.352；

8、k25kk5k(2)P{X≥3}=C5(0.4)(0.6)≈0.317；k37kk7k(3)P{X≥4}=C7(0.4)(0.6)≈0.290k4因此