近世代数课件-3.9极大理想

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1、§9最大理想9.1定义及等价条件9.2基本结论9.3进一步的结论9.1定义及等价条件以下我们要认识两种由一个交换环来得到一个域的重要方法,第一种就是利用最大理想的方法(本节内容),第二种方法是分式域(下节内容)。一个基本的模型：定义一个环的一个不等于的理想叫做一个最大理想,假如，除了同自己以外，没有包含的理想。最大理想有下面一些等价表述:(1)一个环的一个不等于的理想叫做一个最大理想,如果存在理想满足:,那么或.(2)一个环的一个不等于的理想叫做一个最大理想,如果存在理想满足:,那么.(3)一个环的一个不等于的理想叫做一个最大

2、理想,如果存在理想满足:,那么.例1我们看整数环。我们说，由一个素数所生成的主理想是一个最大理想。因为：假定是理想，并且:那么一定包含一个不能被整除的整数。由于是素数，与互素，所以我们可以找到整数s和t，使得但也属于，而且是理想，所以9.2基本结论定理假定是一个有单位元交换环，是R的一个理想。是一个域是一个最大理想的时候。证明()设是一个最大理想,我们分两步证明:(1)至少有一个非零元.那么.因此,在商环中至少有一个非零元(??).(2)每一个非零元可逆.,我们需要证明可逆..构造一个理想,那么(??)(??)可逆.是一个域.

3、设是一个域,理想满足:.我们需要证明.取一个那么,可逆(??).于是,存在使得证毕.这样，给了一个有单位元的交换环R，我们只要找得到R的一个最大理想，就可以得到一个域。例2R是整数环，是由素数所生成的主理想。那么由上面例1，是一个域。这个结果我们在前面已经得到过。9.3进一步的结论给了一个环R，我们可以利用R的一个最大理想来得到一个商环，使得除了零理想同单位理想以为，没有其它的理想。引理1假定是环R的理想。剩余类环只有零理想同单位理想,当而且仅当是最大理想。证明我们用来表示R到的自然同态满射。充分性.已知是最大理想.设是的理想

4、，并且那么，在这下的逆象是R的理想，显然包含而且不等于(??)，所以=这样，只有零理想同单位理想。必要性.假定不是最大的理想,那么存在是R的理想,并且：那么,在这下的的象是的理想。由于，,也不会是.不然的话，对于R的任意元r，可以找到的元b，使得由于是理想，可以得到，与假定不合。引理2若R是有单位元的、可交换的非平凡环。如果R只有零理想同单位理想，那么R一定是一个域。证明我们看R的任意所生成的主理想显然不是零理想,于是由假定,。因而R的单位。但的元都可以写成的形式,所以这样,R的每个不等于零的元都有一个逆元,R是一个域。证完.

5、.。注：由以上两个引理可以证明定理。作业：P119：2，4