Jordan测度的积分表示

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1、惠阳师专学报(自然科学版)一九八八年第一期Jordan测度的积分表示许金泉]ordan,ran文〔〕给出了J可测集的定义但若按其定义判别一个点集是否Jod可测集是比。an,anann较困难的本文先讨论Jord可测集的一些性质然后推导出Jord测度与Riem积分的关,,oran。系利用此关系判别点集是否Jd可测就较为容易了,,。本文研究的点集都是一维空间R中的点集N表示自然数集不另声明、oran一Jd测度的定义及其性质ax,a,“、,、。R中闭区间工是指点集{X}《簇b簇bb为常数}相应有开区间半开闭区间、、,。对于任意区间二b一aI(开闭半开闭)我

2、们用}川表示区间工的长度}1a二,二,。因为在闭区间的定义中充许b所以单点集{}是一闭区间且其长度为零nn1,n任N,Ii为闭区间(=1,一,n,,::,定义若E是有界集合i沙)Uh口E则E,,·」l上111助们1=11二1,定一个非负实数终我们称所有这种数值娜的下确界且n‘=n=、,noran。Eif{件}件万11UIipE〔N}为点集E的Jd外测度i=11=1oran:Jd外测度具有下面的性质寮,=,苦二;1)JE》O并且当E小时JEO,米和;名)若A冲B则JA>JBnn带资(3)J(UAi)簇万JAii=11=1,,来=‘‘;(4)若p(AB

3、)>o则J(AUBzJA+JB‘去一(,二5)对任意有界点集E有JEJ它(,”二。6)若工为闭区间则Jl1工]米,=,a,,a,证明(1)显然JE》o当E小时取定任尺则{}是一闭区间且EC{}所‘a=,‘。以o簇JE簇}{}}O即JE;o,、ne,。性质(2)(3)(4)的证明与〔2〕中Lelesg外测度的证明类似证明略注,3)Jord“noran意这里的性质(是有限个集合并的外测度小于或等于这有限个集合的Jd外测,eesgne,,度之和这和Lb外测度的性质不同若换为无限个集合之并则未必成立证明见本文例2n。下面证明(5)和(6)Un,,,:,n,

4、,‘+e,(5)对VS>o存在闭区间II⋯IUIi口E且艺!li0的任意性有来J厄(尹E,来淤又EC厄由性质(2)有JE气J它.‘‘。,.J百=JE,,’。(6)若I为闭区间则工创I从而JI镇!11nne,,:,,。,;,*‘,又对V>0存在闭区间玩工⋯工U工口工使五}IIo的任意性有j工}成J工⋯JIj11,,,*=一“一,.定义2若E是有界集工是闭区间E已工令JE!工

5、}J(工E)我们称JE为集oran。’辛,oran,,合E的Jd内测度若JE=JE称E是Jd可测集简称E为(J)可测集集合E的今。Jordan测=JE度JE(以下简称为(J)测度)记为JE,,=一,oran,帝十淞一显然对于集合E工EU(工E)由Jd外测度的性质{工!镇JEJ(IE),寄带=,,辛。,.寮即有JE》}1一J(I一E)JE且JE》o若E是(J)可测集则JE十J(I一E)。=】I}二:,x:,,二。,。例1有限点集{⋯}是(J)可测集且其(J)测度为零n:=二:xZ,x。=:,解记E{⋯}U省X}oran由Jd外测度的性质有nn谁‘;=

6、二二JE簇万J{X}艺l{X}!oi=11二1半辛带=带=、二,=‘二o又JE》JE》0.’JEo即JEJEo所以E为(J)可测集且JEJE,,定理1若,工是闭区间E公工J)E是有界集合则E是(可测集的必要充分条件是卜B是。(J)可测集证明E是(J)可测集’.‘中二令JE=JE=l工】一J(I一E)’.心二冷J(I一E)=!工{一J〔I一(I一E)〕=J(I一E)。李冷I一E是(J)可测集62,。。为了证明(J)可测集的性质我们引入一个引理证明参见文〔1〕,,,引理若E是有界集合I是闭区间E创I则E是(J)可测集的必要充分条件是E的闭包‘。百与工一

7、E的闭包I丁豆的交E几(I一E)可被有限个长度之和是任意小的闭区间所覆盖:,Z,:Z、,:,:一:。定理2若EE是有界(J)可测集则EUEEnEEE也是(J)可测集:、Z,,,;Z,:,Z,,证明因EE有界取闭区间工使工口EUE又EE是(J)可测集由引理,‘、‘,,,2,2,‘:es,对v。<。存在闭区Jti工{)、l⋯:l‘,工:,:{,⋯工使古‘,二百n硬正豆西穿{i=1_(哭2、_‘::U11一,口En(IE)妙i=1_。,,,丁,,且鳌}户}

8、〔(EUE)U(EUE)〕n麦〔I(EUE)〕U〔I一(EUE)〕}=:Zl‘:一:一:一:〔(EUE)U(EUE)〕n{