高考数学总复习课时作业堂堂清平面向量5-3

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1、第三节　平面向量的数量积考纲要求1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角；会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．考试热点1.向量数量积的运算仍将是高考考查的重点，经常以选择题，填空题的形式出现，难度适中，但灵活多变．2．向量的数量积经常与三角函数、解三角形、解析几何等知识相结合．命题的空间较大，且形式灵活，全面考查能力，在知识的交汇处命题是高考的热点之一.1．数量积的概念：(1)向量的夹角：如图1

2、，已知两个非零向量a和b，作则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．图1(2)数量积的定义：(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影

3、b

4、cosθ的乘积．已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量

5、a

6、

7、b

8、cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝

9、a

10、

11、b

12、cosθ.2．数量积的性质：设e是单位向量，〈a，e〉＝θ.(1).(2)(3).(4)(5)e·a＝a·e＝

13、a

14、cosθ当a与b同向时，a·b＝

15、a

16、

17、b

18、；当a与b反向时，a·b＝－

19、a

20、

21、b

22、

23、.特别地，a·a＝

24、a

25、2或a⊥b⇔a·b＝03．运算律：(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．向量数量积的坐标运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)a·b＝x1x2＋y1y2；1．若向量a与b的夹角为60°，

26、b

27、＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模是()A．2B．4C．6D．12解析：(a＋2b)·(a－3b)＝

28、a

29、2－

30、a

31、

32、b

33、cos60°－6

34、b

35、2＝

36、a

37、2－2

38、a

39、－96＝－72，∴

40、a

41、2－2

42、a

43、－2

44、4＝0.∴(

45、a

46、－6)·(

47、a

48、＋4)＝0.∴

49、a

50、＝6.答案：C答案：D3．已知

51、a

52、＝1，

53、b

54、＝2，c＝a＋b，c⊥a，则a与b的夹角大小为()解析：c⊥a，则c·a＝0，即(a＋b)·a＝0，即a2＝－a·b.∴a·b＝－a2＝－1，即

55、a

56、

57、b

58、cosθ＝－1.答案：D答案：－2答案：2平面向量数量积的运算[例1](2009·全国卷Ⅰ)设a、b、c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为()[分析]先由条件a·b＝0，知向量a与b垂直．要使(a－c)·(b－c)的值取得最小，就要把(a－c)·(b

59、－c)表示为某个变量的函数，从而转化为求函数的最小值．[答案]D[拓展提升]涉及直角或两直线垂直的问题均可利用a·b＝0建立等式，线段的长度相等问题均可以建立

60、a

61、＝

62、b

63、⇒

64、a

65、2＝

66、b

67、2⇒a2＝b2的等式来解决．(1)在直角三角形ABC中，C＝90°，AB＝5，AC＝4，求(2)若a＝(3，－4)，b＝(2,1)，试求(a－2b)·(2a＋3b)．(2)解法1：a－2b＝(3，－4)－2×(2,1)＝(－1，－6)，2a＋3b＝2×(3，－4)＋3×(2,1)＝(12，－5)，(a－2b)·(2a＋3b)＝(－1)×12＋

68、(－6)×(－5)＝18.解法2：(a－2b)·(2a＋3b)＝2a2－a·b－6b2＝2[32＋(－4)2]－[3×2＋(－4)×1]－6(22＋12)＝18.利用平面向量的数量积解决夹角、长度问题[拓展提升]本题的突破点是把CCCCCC转化到向量的数量积，进而求夹角，使三个角相等，从而得证．(2009·安徽高考)给定两个长度为1的平面向量。。。它们的夹角为120°.如图2所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动．若，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是______．图2解析：∵

69、

70、＝1，∴x2＋y2＋2xycos120°＝1.∴3x

71、y＝(x＋y)2－1≤3()2，(x＋y)2≤4.∴x＋y的最大值是2.答案：2利用平面向量的数量积解决垂直问题[例3](1)点O是三角形ABC所在平面内一点，满足：，则点O是△ABC的()A．内心B．外心C．重心D．垂心(2)O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足λ∈[0，＋∞)，则P点的轨迹一定通过△ABC的()A．重心B．垂心C．内心D．外心[答案](1)D(2)B设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若

72、a

73、＝1，则

74、a

75、2＋

76、b

77、2＋

78、c

79、2的值是多少？解：平面向量数量积的

80、综合问题[例4](2009·宁夏、海南高考)已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且则点O，N，P依次是△ABC的()A．重心、外心、垂心B．重心、外心、内心C．外心、重心、垂心D．外心、重心、内心[分析]要判定O，N，P是△ABC的什么心，就是要根据条件和三角