由数列的递推公式求通项公式的求解策略

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1、由数列递推公式求通项公式的求解策略一般地，如果己知数列｛%｝的第1项（或前几项），且任一项％与它的前一项色_1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.由递推公式给出的数列，称之为递推数列.等差、等比数列实际上就是最简单的递推数列.求递推数列的通项的方法较为灵活，本文归纳涉及递推数列的常用解题方法及技巧。一、直接构成等差等比数列=an+3,(2%=)3,an+l=2an例1・已知数列递推公式，求数列通项公式。二、迭加法（或迭乘法）：当递推关系为色/（力）时，要求通项

2、公我们常通过—++（色一％）+%（1）务=5,an+i色+1=%+/（“）（或％+1式时，色=（色-％一1）+（色一1（或“严严"的变形来求出’此Un-lUn-2U1方法叫迭加法(或迭乘法)例2、已知数列｛%｝中，ar=1,色+1—％=〃+2求勺彳列3、己矢口数歹中e=2月.=—求色aR+in(n+l)例4、已知数列｛%｝中卫1=1,色+i=2"・％求％例题5:已知正数数列仏｝满足a~1、(n+l)an+i2-nan2+an+i.an=0，求％.三、迭代法：当数列的递推关系为色+严P0+/（〃）（/

3、（〃）可以是常数，也可以是关于n的函数式），色T%的一步步迭代可求出通项公式，具体做法为:J=PfL[+f(n-l)=p[pZfz2+/(h-2)]+f(n-1)=p2an_2+p+==/-'«1+<7(l)+<7⑵++Pfn-2)+f(n-l),则问题转为求和问题例6、已知数列｛%｝的前n项和S“，满足s〃=2^+(-i)gni)(1)写出数列｛色｝的前三项°1、°2、他⑵求数列｛色｝的通项公式用色=Sn~Sn-15»2）求解：数列U｝的前n项和S“与色的隐含关系为色利用这个关系揭示色与仏1的关系或s

4、”与S-的关系，使数列化归为两个基本的数列求解例7、S为数列｛%｝的前口项和，且S“+1=4色+2(neN),首项a严1,(1)若化=£+i-2%(〃wA0,求证：数歹［)｛化｝为等比数列(2)、设―即心、,求证：数列｛c“｝为等比数列(3入求数列｛%｝的通项公式及前n项和公五、构造新的辅助等差等比数列求通项：当数列的递推关系为色+1=/（色）或°“+i=p%+g或5=q，=pj+t・q时，往往可以将其转化为一个新的等差数列或等比数列，然后再依次求出有关的通项公式。或待定系数法的渗透对于形如an=P-a

5、n-l+Q、5=p.g+q"、5=P・a；kn+b（卩、q、k、b是常数）等递推式求通项类型的试题，在高考中出现的频率最高，在每年的各省市高考卷中都能找到其身影，而且其解题的方法众多，其中待定系数法不失一种简洁的方法。（2006年全国I卷）在数列仏｝中,419Sn厂了肝+§，（"WN）。求首项与通项色分析：由题意得a=S=~ai~~x2?+~=2o又an+1=Sn+l-S„=即S+i=4%+2利用待定系数法可得兀=1,又％+2=4",所以数列仏+2"}是公比为4的等比数列。所以鑫+2"=4x4：得a

6、n=4n-2non+l41—2AxFZH333’解得41n+lf_3S"+1_5(2"+"_2"),/Z+1,设an++X•2"+l=4(a”+x•2"),!==i4~an+l例8.已知数列{an},坷二1,陽+1二如求anan+2取倒数A・an_{+C不动点法：对于形如鑫=Ban_i+D的递推4・x+C式求解通项，可利用特征方程"=灵二万，若此方程有两不相等的实根帀、毛，则可构造数列等比仇实根X]=X2,则可构造等差数列仇1an""一勺，若此方程有两相等的从而解得色的表达式。例9数列｛%｝中，%=1

7、,色二寫打(m>2,hgN)求数列｛色」的通项公式。例10:设数列｛陽｝中,％=2,an+]=3an+2求a例11.设数列｛。”｝中，a｛=1,an+[=2an+3-5n求析：两边同除以色的系数的＜1+1次方，构造新数列。六•归纳、猜想、证明求通项(需用到数学归纳法)n+例12对于数列｛a”｝，若坷=2(a>0,且a工1),a,】=2-丄.求a”an解:•.・a】=2，％+]=2-丄・IQ?=.Ian猜想an=下面用数茹易狂证明猜的正确性:(/)当心1时，％=,由已知得，猜想正确.(n)假设斤=耐，猜

8、想正确，即色=,仏严_也就是说对n=k+l时，猜想正确。综上(i)(ii)可知，数列｛色｝通项公式是色二说明：由递推关系式可以求出数列前几项，由这几项先猜想其通项公式，最后用数学归纳法证明其正确性。因为数列通项公式是与自然数n有关问题，所以用数学归纳法证明。由数列递推关系式求通项，一般可以用此法。七、不动点的渗透在几年高考试卷中，不动点的知识应用频率非常高，对于形如鈴艺的递推/?—1式求解通项，可利用特征方程2筈着，若此方程有两不相等的实根