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1、浅谈几何证明中的辅助线开平市庆扬中学谈群香平面几何证明过程中经常要作辅助线，什么叫辅助线？为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线常用虚线表示。辅助线添作正确与否，有时是解题的关键。每--道题添作的辅助线都不同，有吋不止一条，但却有一定的规律，这也是解题的一个难点。教师在教学中应多作启发，用同i的或不同的辅助线添加解决不同的或同一的问题，以开阔学生的视野，加强学生的解题能力。平面几何中，最常见的辅助线添作方式有如下几种：—、连结两点：这是最常用、最简单、最基本也是最广泛的辅助
2、线添作，无论在三角形、四边形、多边形、圆都经常运用。连结对角线，可将四边形、多边形转化为三角形，再利用三角形的性质求解，这是多边形最常见的辅助线添作，例如：图（1）,已知AB=AE,BC=ED,ZB=ZE,求证ZC=ZD（连结AC、AD,运用三角形全等判定定理及〃等边对等角〃求证）。在与圆有关的三角形全等或相似的判定也常用。如图⑵,已知:AB是00的直径,AC与00相切于点A,CE〃AB交O0于D、E,求证：EBXEB=CDXAB。解题中连结AD、AE,BE利用弦切角定理，平行眩性质，直线性质，三角形相
3、似判定定理求解。二、作平行线过一点作某线段或直线的平行线多用于将多边形（如梯形）转化为平行四边形和三角形求解；在与求角的度数或与求角有关的时候也多见，因为平行线的性质与角有关。最典型的是〃三角形内角和定理〃的证明。添作不同的辅助线有不同的证法。如图（3）,过A作DE〃BA,图（4）,在BC上取一点D,过D点作DE〃BA,DF〃CA,分别交AB、AC于点E、F；图（5）,过C点作CE〃AB,并延长BC到Do三、作垂线或垂线段过一点作某线段的垂线或垂线段，最终目的是运用直角三角形的性质及勾股定理去解决问题。
4、直角三角形在几何中无论求角或求边（线段）是最基础的解决之道。在圆中，可应用垂经定理，切线性质，可将梯形或多边形转化为矩形与直角三角形有关的问题，更可将一般的三角形或等腰三角形转化为直角三角形求解。例如，如图（6）,〃等边对等角的证明〃，如图（7）,若给出圆心0与弦AB,都是作垂线段转化为直角三角形求解。四、延长某一线段这种类型多为补充形式，延长后可运用某一定理，或用于构造三角形(包括全等三角形和相似三角形)。有时单一出现，通常与其他类型辅助线一同添作。如〃梯形中位线定理〃的证明，如图(8),连结AN并延
5、长交BC的延长线于点E,构造两个全等三角形；如图(9)看到图形即可联想到切割线定理而将AD延长交O0于C,将图形补充完整。五、作屮线(或线段屮点)，角平分线屮线的添作常在三角形屮出现，用于线段相等或证明三角形全等。而角平分线跟点到直线的距离有关，常与垂线段一同出现，目的是应用角平分线性质。辅助线的形式有许多，以上所列只是常见类型。每一道题有不同的辅助线，也可添作不同类型的辅助线，如图⑻的证明，既可以作BC边上的高AD,也可作BC边上的中线AD,也可作顶角ZA的平分线AD,不同的辅助线添作，有不同的证法。
6、而每一图形中的辅助线添作更是多姿多彩，有时单一出现，有时多种类型相结合，而不会规限于某一类型。每一道题都应结合所给出的己知条件和图形，作出合适的辅助线寻找解决之道。总之，灵活地添作辅助线有助于解决问题，适当地启发学生利用同一的或不同的辅助线添加解决不同的或同一的问题，以开阔学生的思路，开启其智力，培养和发展学生的逻辑思维能力。初中几何常见辅助线作法歌诀歌诀一人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研,图屮有角平分线,也可将图对折看,角平分线平行线,角平分线加垂线,找出
7、规律凭经验可向两边作垂线对称以后关系现等腰三角形来添三线合一试试看线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形屮有中线，延长中线等中线。平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最
8、方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，辅助线，是虚线，假如图形较分散，基本作图很关键，解题还要多心眼，切勿盲目乱添线，分析综合方法选，虚心勤学
