资源描述：
《矩阵论习题课答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、习题课答案一1).设为阶可逆矩阵,是的特征值,则的特征根之一是(b)。(a)(b)(c)(d)2).正定二次型的矩阵为A，则(c)必成立.A的所有顺序主子式为非负数A的所有特征值为非负数A的所有顺序主子式大于零A的所有特征值互不相同3).设矩阵与相似,则的值分别为(a)。(a)0,0(b)0,1(c)1,0(d)1,1二填空题4)若四阶矩阵相似，的特征值为，则=24。5)设,则=三计算题3.求三阶矩阵的Jordan标准型解,将其对角化为.故的若当标准形为.■4.设是3阶对称矩阵,且的各行元素之和都是3,向量是的解,求矩阵的特征值,特征向量,求正交阵和矩阵使得依题意有因而其特征多
2、项式为.故特征值为.⑴,解特征方程得,.特征向量为.⑵,解特征方程得.特征向量为.以上.把向量正交并单位化得,.把向量单位化得.以作为列向量作成矩阵,则为正交矩阵且.,则满足.■5解：A的行列式因子为,.所以，不变因子为,，初等因子为，因而A的Jordan标准形为8.设A是n阶特征值为零的若当块。证明，不存在矩阵A，使得A²=J假设A²=J.若λ是A的一个特征值,则λ²是A²=J的特征值.而J的特征值只有0,于是A的特征值也只能为0.考虑A的Jordan标准型,其各Jordan块的特征值都是0,易见r(A)=n-Jordan块的个数.由r(A)≥r(A²)=r(J)=n-1,A
3、只有一个n阶Jordan块.因此A与J相似,进而有J=A²与J²相似.但r(J)=n-1>n-2=r(J²),矛盾.即不存在矩阵A使得A²=J.9.设A,B是n阶矩阵,证明:AB与BA具有相同的特征值只需证明：若λ是AB的特征值，则λ也是BA的特征值。分两种情况：(1)λ≠0。由λ是AB的特征值，存在非零向量x使得ABx=λx。所以BA(Bx)=B(ABx)=B(λx)=λBx，且Bx≠0（否则λx=ABx=0，得λ=0，矛盾）。这说明Bx是BA的对应于特征值λ的特征向量，特别地λ也是BA的特征值。(2)λ=0。此时存在非零向量x使得ABx=λx=0，所以AB不满秩，知det(
4、AB)=0。从而det(BA)=det(AB)=0，BA不满秩，所以存在非零向量x使得BAx=0=λx。这说明λ=0也是BA的特征值。证毕。10.设A是数域F上的n维线性空间V的一个线性变换,设但是．证明：是Ｖ的一组基．并且求线性变换Ａ在此基下的矩阵，以及Ａ的核的维数．证明：令．（１）用左乘（１）式两边，得到．由于，，带入（１）得．（２）再用左乘（２）式两端，可得．这样继续下去，可得到．线性无关．＝．Ａ在此基下的矩阵为，可见,,即A的核的维数为1．
