矩形薄板的几种解法

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1、弹力小结矩形薄板的几种解法矩形薄板的几种解法一：纳维解法四边简支的矩形薄板，如图，当并无支座沉陷时，其边界条件为,。，。，。纳维把挠度的表达式取为如下的重三角级数：，（a）其中和都是任意正整数。显然，上列的边界条件都能满足。将式（a）代入弹性曲面微分方程D∇4w=q，得到为了求出系数，须将式（b）右边的展为与左边同样的重三角级数即。（c）现在来求出式（c）中的系数。将式（c）左右两边都乘以，其中的为任意正整数，然后对积分，从0到，注意0，(m≠i)a/2，(m=i)就得到。再将此式的左右两边都乘以，其中的也是任意正整数，然后对积分，从0到，注意0，(n≠)/2，(n=)就得到因为和式任

2、意正整数，可以分别换为和，所以上式可以换写为解出，代入式（c）,得到的展式。（13-25）与式（b）对比，即得当薄板受均布荷载时，成为常量，式（d）积分式成为于是由式（d）得到或代入式（a），即得挠度的表达式由此可以用公式求得内力。当薄板在任意一点（）受集中荷载时，可以用微分面积上的均布荷载来代替分布荷载。于是，式（d）中的除了在（）处的微分面积上等于以外其余各处都等于零。因此，式（d）成为代入式（a），即得挠度的表达式，值得指出：当及分别等于及时，各个内力的级数表达式都不收敛（这是可以预见的，因为在集中荷载作用处，应力是无限大的，从而内力也是无限大），但挠度的级数表达式（e）仍然收敛

3、于有限打的确定值。显然，如果在式（e）中命和等于常量而把和当做变量，并取，则该式的将成为（）点的挠度的影响函数，它表明单位横向荷载在薄板上移动时，该点的挠度变化率。同样。在由式（e）对及求导而得到的内力表达式中，命和等于常量并取，则各该表达式将成为在（）点的各该内力的影响函数。本节中所述的解法，它的优点是：不论荷载如何，级数的运算都比较简单。它的缺点是只适用于四边简支的矩形薄板，而且简支边不能受力矩荷载，也不能有沉陷引起的挠度。它的另一个缺点是级数解答收敛很慢，在计算内力时，有时要计算很多项，才能达到工程上所需的精度。二：莱维解法对于有两个对边被简支的矩形薄板，可以直接应用下面所述的莱

4、维解法。设图13-18所示的矩形薄板具有两个简支边及，其余两边式任意边，承受任意横向荷载。莱维把挠度的表达式取为如下的单三角级数：其中是的任意函数，而为任意正整数。极易看出，级数（a）能满足及两边的边界条件。因此，只需选择函数，使式（a）能满足弹性曲面的微分方程，即：（b）图13-8并在的两边上满足边界条件。将式（a）代入（b），得。（c）现在须将式（c）右边的展为的级数。按照傅里叶级数展开式的法则，得。与式（c）对比，可见（d）这一常微分方程的解答可以写成其中是任意一个特解，可以按照式（d）右边积分以后的结果来选择；、、、是任意常数，决定于两边的边界条件。将上式代入式（a），即得挠度

5、w的表达式Dmmyπacoshmyπa+fm(y)]sinmxπa(e)作为例题，设图13—8中的矩形薄板是四边简支的，受有均布荷载q=qo。这时，微分方程（d）的右边成为于是微分方程（d)的特解可以取为.带入式（e），并注意薄板的挠度w应当是y的偶函数，因而有Cm=0，Dm=0，得。（f）应用边界条件，由式（f)得出决定Am及Bm的联立方程或者,（m=2,4,6.。。）其中。求得Am及Bm，得出，；（m=1,3,5.。。）或者得出（2,4,6.。。）将求出的系数带入式（f），得挠度w的最后表达式ççèæ+am2sinham2ybsinh2yamb)sinmxπa+-÷øöçèæ=å¥

6、=byaaaamDaqmmmmm2coshcosh2tanh2114w..5,3,15540p（g）并可以从而求得内力的表达式。最大挠度的、发生在薄板的中心。将及代入公式（g），即得这个表达式中的级数收敛很快，例如，对于正方形薄板，，，得出在级数中仅取两项，就得到很精确的解答。但是，在其他各点的挠度表达式中，级数收敛就没有这样快。在内力的表达式中，级数收敛得还要慢一些。应用上面所述的莱维解法，可以求得四边简支的矩形薄板在受各种横向荷载时的解答，以及它在某一边界上受分布弯矩或发生沉陷时的解答。三：一般解法此外在§13-5中已经给出这种薄板在某角点发生沉陷时的解答。于是可得矩形薄板的一个一

7、般解法，说明如下。采用结构力学中的力法。位移法，或混合法，以四边简支的户型薄板为基本系。对于任一夹支边，以该边上的分布弯矩为一个未知数（具有特定系数的级数）；对于任一自由边，以该边上的挠度为一个位置函数（具有特定系数级数）；对于两自由边相交而又无支柱的角点，还须以该角点的沉陷为一个未知值，应用上面所述的解答，求出夹边上的法线斜率，自由边上的分布反力，以及二自由边交点处的集中反力（当然是用上述待定系数及未知值以及已知荷载来表示），命夹边上的法向斜