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1、www«DearEDUxom集合与不等式的学法指导河南汤阴一中杨焕庆一，内容概述集合是近代数学中最基本的概念之一,集合语言是现代数学的基本语言，用集合的语言來阐述问题，简洁，深刻.善于用集合的观点看待数学问题,用集合语言传情达意，是处理和解决数学问题的高层次的体现现实卅界的数量关系屮，相等是特殊的、相对的，不等却是普遍的、绝对的。因此不等式的内容能够渗透和贯穿中学数学的各个章节。可以毫不夸张地说，学好了不等式就等于学好了中学数学的大半。尤其三个“二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）是中学数学的重要内容，这其中有丰富的内涵和密
2、切的联系。同时它们也是研究后继各章节的重要工具。高考试题中近一半与这三个“二次”问题有关。%1.重点知识梳理集合屮最基木最重要的是了集，交集、并集、补集的意义。正确熟练地使用各种符号，是必需掌握的基本技能。3.深刻理解集合的概念，善于把握集合的语言-一“文字语言””符号语言””图形语言”的转换.是学好集合乃至以后各章节的关键所在。4空集是一个特殊而乂十分重要的集合，解题中它肩负着特殊的使命。市于它藏而不露，所以也是个极易被遗忘的角落，忽视空集的特殊性往往会导致错解。5.掌握集合的三种特性:确定性,互异性，无序性,是对集合概念深化
3、的表现.6•要熟悉元素•集合、集合为集合的关系，止确使用各种符号.学习集合必须抓住“元素”这个关键。集合是由元素确定的,子集、交集、并集、补集、空集等也都是通过元素來定义的,集合的性质说的就是元素的特性，集合的分类与表示法等亦都是通过元素來刻划的，遇到集合的问题，首先要弄清“元素是什么”。7.求补集时，要随时考虑全集是什么，因全集是一个相对概念，同一集合在不同全集屮的补集是不同的，并非在任何情况下全集都是实数集。8.含绝对值的不等式和一元二次不等式是简单不等式，可以直接求解，求解吋要善于用集合的观点去把握。既可以把原不等式转化为
4、与之等价的不等式（组）來解，也可以借助“数形结合”的思想來处理。要知道不等式解集的“端点”是与之相关联的方程的根这一规律。9.含参数的不等式往往需要分类讨论，分类的标准（不重不漏）要始终如一。一般来说先按常规方法解题，谁阻碍了我们“前进的步伐”就对谁讨论，何时思维受阻就何时讨论。%1.思想方法（-）数学思想（1）“数形结合”思想.把数量关系的精确刻划与几何图形的肓观形象有机地结合起来，从而充分暴露问题的条件和结论之间的内在联系.以达到化繁为简，化难为易的目的•“尺冇所短，寸冇所长”，著名数学家华罗庚冇诗云：“数缺形少直观，形缺数
5、难入微”。把抽象的“数”•直观的“形”结合起来，以期达到一-种完美的境界，这就是“数形结合”的本质特性。数学中两个重要的集合“数集”和“点集”是我们研究的主体。自觉运用韦恩图、数轴、简单函数的图象能帮助我们分析和理解抽象的集合语言，捉高形象思维能力。y—3例1.设全集/=｛（%，y）lx，yw出，集合册,N=｛（兀,刃1yhx+1｝,那么C,（McN）等于：A.OB.（2,3）C.｛（2,3）｝Q・｛（兀,y）丨y=兀+1｝分析:该题各集合中的元索显然都是“点”，我们冇理由用“数形结合”的思想解解：易知集合M是直线）'=兀+1上
6、除去（2,3）点构成的集合，集合N是直线歹=兀+1外的一切点构成的集合，所以集合McN是整个平面除去点（2,3）构成的.从而5（McN）二｛⑵3）｝故选Cwww«DearEDUxom评注：本题首先要清楚各集合中的元索是什么？是函数的自变量，还是因变量，还是iiii线上的点。值得一提的是这里(2,3)是元素，不是集合，容易误选B.集合运算的结果是集合，而不是元素。(2)补集的思想补集思想是一种间接思考问题的方法。W：已知全集为/,若直接求其子集力困难，可先求WCiA,再利用G(C/A)=A从而间接求出集合A。这种正向思维受阻后而
7、改川逆向思维的思想，就是补集思想。它是通过两次否定实现一次肯定的方法。例2：已知抛物线y=^+2ax-2afy=x2+a-afy=x2-4ax-4a中至少有_条与兀轴相交，求实数Q取值的集合M.分析：首先应抓住两点:①“相交”即”两个公共点”.②“至少有一条与％轴和交”是指与兀轴只有一条相交；只冇两条相交；三条都相交。共三人类7种情形。显然正面解决是I•分复杂和困难的，而其反面(补集)只有一种:三条都不与兀轴相交.因此有下列解法。A,=(2q)2—4(—2a)<08、均不相交,则有宀=(⑷)一47)v°解得:CrM={a-l0}即为所求。评注：正面进攻很难取胜，应该攻其反面。这种“正难则反”的思想，体现了灵活机智的解题策略。(3)分类讨论的思想有些问题的结果不是唯一的，它被题屮参数的变
