运用观察、归纳和猜想解奥数

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1、运用观察、归纳和猜想解奥数内容摘要：观察、归纳和猜想是学习数学、研究数学的最基木的而乂行之有效的方法之一,它能使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从特殊问题总结出i般规律，为解决问题提供一定的方向、依据。本人在多年的教学中，通过探索、研究，掌握了一些规律，下ifii通过实例加以阐述。一、由特殊到一般，进行类比例1(2008全国初中数学竞赛试题)观察下列图形，根据图(1)(2)(3)的规律，图(4)中三角形的个数为o技巧安排：本题很有特色，其一是问题源于常规教材，体现了常规教学与竞赛教学之间密不可分的关系；其二实质是一个从特殊到一般的归纳推理的典型试题，要求我们通过观察

2、进行归纳得到规律，提出合理猜想，并予以验证。全解：通过观察已知三个图形，图(1)、图(2)、图(3)中有下列规律：在图(1)中，三角形的个数有：1+3°><4二5在图(2)中,三角形的个数有：l+3°X4+3*4二17在图(3)中，三角形的个数有：1+3°X4+3】X4+3?X4=53因此,图(4)中三角形的个数有:1+4+3X4+32X4+33X4=161例2：(2006全国初中数学竞赛试题)一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中么一，还是沿一条不过任何顶点

3、的在线将其剪成两部分……如此下去，最后得到34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是()A、2004B、2005C、2006D、2007技巧安排：从特殊图形、特殊数开始进行观察与试验(本题既可从特殊到-•般，乂可以从整体角度考虑，即每剪开一次，则各部分的内角和增加360°),并在特殊情形中寻求启示，得到一些结果，再把特殊情形当作一面镜子，用类比思想，同一•般情形进行对照，发现两者共性，从而解开疑团，理出线索，找到规律。全解：由题意，用剪刀沿不过顶点的玄线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°,于是，剪过K次后，可得（K+1）个多边形，这些

4、多边形的内角和为（K+l）X360°o因为这（K+1）个多边形中冇34个六十二边形，它的内角和为34X（62-2）X180°=34X60X180°,其余多边形有（K+1）-34二K-33（个），而这些多边形的内角和不少于（K-33）X1800,所以（K+1）X3600$34X60X180°+（K-33）X180°,解得KN2005。当我们按如下方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论。先从正方形上剪下1个三角形,得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形。再取33个三

5、角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便得到34个六十二边形和33X58个三角形，于是共剪了：58+33+33X58二2005（刀），故选B。二、观察归纳猜想，分类讨论例3：（第十九届五羊杯）一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或两级台阶，最多可以迈三级台阶，从地面上到最上面一级台阶，一共可以冇多少种不同的迈法？技巧安排:虽然归纳猜想的结來未能得到一•次性的直接计算公式，但却得到了一个递推公式,依据这个公式，我们同样能够解得答案。所以，在这里对初始情况的研究，不仅是猜想一般性结果

6、的重耍索材，同时也是得岀问题结论的必要步骤（从具体问题出发——观察试验——归纳猜想——形成一般结论——严密解答与论证）。全解：（由于台阶数较多，故我们先从简单情况入手）若只有1级台阶，则只有唯一迈法，则&二1若有2级台阶，则有两种边法：一步一级地走，或者一步两级地走，32=2。若有3级台阶，则有4种迈法：一步一级地走，第一步一级而第二步两级，第一步两级而第二步一级，一步迈三级，则as二4。若有4级台阶,则按第一步边出的台阶数分三类讨论:①笫步一级，那么还剩3级台阶，根据前而的分析可知有恥二4（种）②第一步两级,那么还剩2级台阶，根据前而的分析可知：有犯二2（种）③第

7、步三级，那么还剩1级台阶，根据前面的分析可知，有仏二1（种）于是4级台阶边法一共有：ai=a3+a2+ai=7（种）类似地,若有5级台阶,那么不同的迈法一共有:a5=a4+a3+a2=13（种）。一般地，若有n(n>3)级台阶，那么不同的迈法一共有：an=an-1+a“-2+a“-3(种)从而06=13+7+4=24;3j=24+13+7二44；a$二44+24+13=81；39=81+44+24=149；弧二149+81+44二274。故上这个楼梯一共有274种不同走法。例4：(第七届华罗庚金杯)—•条总径将圆周分成两个半圆周，在每个分点标上质数P；第二次将两